A soma dos determinantes |llla & b & c b & a & c 1 & 2 & 3|+|ccc-a & -b & -c b & a & c 1 & 2 & 3| é igual a zero,
a) quaisquer que sejam os valores reais de a, b e de c.
b) se, e somente se, a=b e c=0.
c) se, e somente se, a=-b e c=2 a.
d) se, e somente se, c=3 a e b=2 a.
e) se, e somente se, b=c=1.

Passo 1

O enunciado nos pede a soma de dois determinantes
D1 = a & b & c b & a & c 1 & 2 & 3 e D2 = -,a & -,b & -,c b & a & c 1 & 2 & 3 ,
e quer saber para quais valores de a,b,cinR vale
D1 + D2 = 0
O conteúdo envolve expansão de determinantes e suas propriedades (linearidade e alternância).

Passo 2

Calculando D1 por expansão na primeira linha (regra de Laplace):
D1 = a,(acdot3 - ccdot2);-;b,(bcdot3 - ccdot1);+;c,(bcdot2 - acdot1)
Simplificando cada termo:
D1 = a(3a-2c);-;b(3b-c);+;c(2b-a) =3a^2-2ac-3b^2+bc+2bc-ac
Reagrupando,
D1 = 3a^2-3b^2-3ac+3bc =3l(a^2 - b^2 - ac + bcr) =3(a-b)(a+b-c)

Passo 3

Para D2 fazemos o mesmo:
D2 = (-a),(acdot3 - ccdot2);-;(-b),(bcdot3 - ccdot1);+;(-c),(bcdot2 - acdot1)
Isso leva a
D2 = -3a^2+2ac +3b^2 - bc -2bc + ac = -3a^2+3b^2+3ac-3bc =-3l(a^2-b^2-ac+bcr) =-3(a-b)(a+b-c)
Ou seja, D2 = -,D1.

Passo 4

Somando os dois:
D1 + D2 = 3(a-b)(a+b-c) ;-; 3(a-b)(a+b-c) = 0
identicamente, sem impor nenhuma condição sobre a,b,c.

Resposta

(a) quaisquer que sejam os valores reais de a, b e c.

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