(sorteio viii) O preço de 3 lápis e 2 borrachas é 3 reais, e o de 2 lápis e 8 borrachas é 4 reais. Qual é o preço de cada lápis e cada borracha.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o preço de cada lápis e o preço de cada borracha, dado que:
\text{(i)}\; \text{o preço de 3 lápis e 2 borrachas é }3\text{ reais;}çáé
\text{(ii)}\; \text{o preço de 2 lápis e 8 borrachas é }4\text{ reais.}çáé
As informações relevantes são exatamente essas duas relações de preço entre lápis e borrachas.

Passo 2

Vamos traduzir o problema em variáveis para trabalhar com álgebra de forma direta. Definimos:
x = \text{preço de um lápis (em reais)}çá
y = \text{preço de uma borracha (em reais)}ç
Explicação: usar variáveis transforma sentenças com palavras em equações numéricas que a gente pode resolver. Aqui queremos achar x e y.

Passo 3

Agora escrevemos as duas igualdades do enunciado em forma de equações lineares usando x e y. A primeira informação vira:
3x + 2y = 3
e a segunda vira:
2x + 8y = 4
Comentário didático: cada coeficiente (por exemplo o 3 multiplicando x) diz quantos lápis entram naquela soma; o termo à direita (por ex. 3) é o valor total em reais.

Passo 4

Escolhemos um método para resolver o sistema: eliminação. Ideia da eliminação: combinar as duas equações de modo a eliminar uma das incógnitas (a gente vai eliminar y), ficando só com uma equação em x, que é fácil de resolver.
Para eliminar y queremos que os coeficientes de y nas duas equações fiquem iguais (ou opostos). As equações têm 2y e 8y. Multiplicamos a primeira equação por 4 para transformar 2y em 8y:
4\cdot(3x+2y)=4\cdot 3
o que dá, em display:
12x + 8y = 12

Passo 5

Agora subtraímos a segunda equação original da equação que obtivemos no passo anterior. Assim o termo 8y\) some: Equações: \[\begin{cases} 12x + 8y = 12,\\[4pt] 2x + 8y = 4. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira (linha a linha):
(12x+8y)-(2x+8y)=12-4.
No lado esquerdo os (8y] cancelam, ficando
10x = 8.]

Passo 6

Resolvemos a equação obtida para x:
10x = 8 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.
Convertendo para decimal com a notação usada em reais:
x = 0,8 \\ (\text{reais}).
Explicação: dividir ambos os lados por 10 é a operação inversa de multiplicar por 10.

Passo 7

Agora encontramos y substituindo x em uma das equações originais. Uso a primeira equação porque é simples:
3x + 2y = 3.
Substituindo x=\frac{4}{5}:
3\cdot\frac{4}{5} + 2y = 3.
Calculemos passo a passo: 3\cdot\frac{4}{5}=\frac{12}{5}=2,4. Então
2,4 + 2y = 3.
Subtraindo 2,4 dos dois lados:
2y = 3 - 2,4 = 0,6.
Dividindo por 2:
y = 0,3 \\ (\text{reais}) \quad\text{(ou }y=\frac{3}{10}\text{).}

Passo 8

Cheque rápido (sempre cheque na prova!): substituímos (x,y)=(0,8,\,0,3) na segunda equação 2x+8y:
2\cdot 0,8 + 8\cdot 0,3 = 1,6 + 2,4 = 4,
bate com o enunciado. Tudo certo.

Resposta

Lápis: R\$\,0,80
Borracha: R\$\,0,30

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