Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
O operador acima é Hermitiano? Quais informações podemos extrair desse resultado?
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
O operador acima é Hermitiano? Quais informações podemos extrair desse resultado?
Passo 1
O enunciado descreve um spin sujeito a um campo magnético externo ao longo do eixo
, com Hamiltoniano dado por
Aqui o conteúdo é mecânica quântica elementar: vamos usar a definição de operador Hermitiano e as propriedades do operador de spin
.
Passo 2
Um operador
é Hermitiano se
Isso garante que seus autovalores sejam reais e que a evolução quântica gerada por ele seja unitária.
Passo 3
Aplicando essa definição ao nosso Hamiltoniano, temos
Como
e
são números reais (
,
) e
é Hermitiano (
), concluímos
Passo 4
Do fato de
ser Hermitiano seguem duas informações fundamentais:
- Seus autovalores (as energias do sistema) são reais.
- A evolução temporal
é unitária, preservando norma e probabilidades.
Passo 5
Além disso,
comuta com
, pois
Logo
e
compartilham os mesmos autovetores. Se
, as energias são
Isto é o desdobramento Zeeman: níveis de energia distintos para spin “para cima” e “para baixo” em
, e a projeção de spin em
é constante de movimento.
Resposta
Sim,
é Hermitiano. Dessa propriedade extraímos que as energias são reais, a evolução é unitária, e que
é constante de movimento, com níveis de energia