Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
O operador acima é Hermitiano? Quais informações podemos extrair desse resultado?

Passo 1

O enunciado descreve um spin sujeito a um campo magnético externo ao longo do eixo \hat{z}, com Hamiltoniano dado por
H = -\gamma\,B\,\hat{S}_z
Aqui o conteúdo é mecânica quântica elementar: vamos usar a definição de operador Hermitiano e as propriedades do operador de spin \hat{S}_z.

Passo 2

Um operador \hat{A} é Hermitiano se
\hat{A}^\dagger = \hat{A}
Isso garante que seus autovalores sejam reais e que a evolução quântica gerada por ele seja unitária.

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso Hamiltoniano, temos
H^\dagger = (-\gamma\,B\,\hat{S}_z)^\dagger = -\gamma^*\,B^*\,\hat{S}_z^\dagger
Como \gamma e B são números reais ( \gamma^*=\gamma, B^*=B) e \hat{S}_z é Hermitiano ( \hat{S}_z^\dagger=\hat{S}_z), concluímos
H^\dagger = -\gamma\,B\,\hat{S}_z = H

Passo 4

Do fato de H ser Hermitiano seguem duas informações fundamentais:
  1. Seus autovalores (as energias do sistema) são reais.
  2. A evolução temporal \exp(-\tfrac{i}{\hbar}Ht) é unitária, preservando norma e probabilidades.

Passo 5

Além disso, \hat{S}_z comuta com H, pois
[H,\hat{S}_z] = -\gamma\,B\,[\hat{S}_z,\hat{S}_z] = 0
Logo \hat{S}_z e H compartilham os mesmos autovetores. Se \hat{S}_z\ket{\pm}=\pm\frac{\hbar}{2}\ket{\pm}, as energias são
E_\pm = -\gamma\,B\left(\pm\frac{\hbar}{2}\right)
Isto é o desdobramento Zeeman: níveis de energia distintos para spin “para cima” e “para baixo” em z, e a projeção de spin em z é constante de movimento.

Resposta

Sim, H é Hermitiano. Dessa propriedade extraímos que as energias são reais, a evolução é unitária, e que \hat{S}_z é constante de movimento, com níveis de energia
E_\pm = \mp\frac{\gamma\hbar B}{2}.

Exercícios relacionados