Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
Quais os autovetores do operador acima?
\hat{H}=\frac{\hbar \omega}{2}(|\uparrow\rangle\langle\uparrow|-|\downarrow\rangle\langle\downarrow|)

Passo 1

Resumindo: temos um spin 1/2 em um campo magnético ao longo de \hat z, com Hamiltoniano
\hat{H} = \frac{\hbar \omega}{2}\bigl(|\uparrow\rangle\langle\uparrow| - |\downarrow\rangle\langle\downarrow|\bigr).
O objetivo é encontrar os autovetores de \hat H. O conteúdo usado é o conceito de operadores projetores e autovetores de operadores hermitianos em mecânica quântica.

Passo 2

Note que |\uparrow\rangle\langle\uparrow| e |\downarrow\rangle\langle\downarrow| são projetores sobre os estados “spin para cima” e “spin para baixo” ao longo de z. Logo, ao aplicarmos \hat H nesses dois estados:
\hat H\,|\uparrow\rangle = \frac{\hbar\omega}{2}\bigl(|\uparrow\rangle\langle\uparrow|\uparrow\rangle - |\downarrow\rangle\langle\downarrow|\uparrow\rangle\bigr) = \frac{\hbar\omega}{2}\,|\uparrow\rangle
e
\hat H\,|\downarrow\rangle = \frac{\hbar\omega}{2}\bigl(|\uparrow\rangle\langle\uparrow|\downarrow\rangle - |\downarrow\rangle\langle\downarrow|\downarrow\rangle\bigr) = -\frac{\hbar\omega}{2}\,|\downarrow\rangle.

Passo 3

Como \hat H age de forma diagonal na base \{|\uparrow\rangle,|\downarrow\rangle\} e associa valores \pm\frac{\hbar\omega}{2} a esses vetores, concluímos que os autovetores de \hat H são exatamente
|\uparrow\rangle \quad\text{e}\quad |\downarrow\rangle.

Resposta

Os autovetores de \hat H são |\uparrow\rangle e |\downarrow\rangle.

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