Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
O operador acima comuta com \hat{S}_{z} ? Quais informações podemos extrair desse resultado?

Passo 1

O enunciado descreve um spin interagindo com um campo magnético externo ao longo do eixo \hat z. O Hamiltoniano é dado por
\hat H = -\gamma\,B_{0}\,\hat S_{z}\,.
Pergunta-se se \hat H comuta com \hat S_{z} e que informações podemos extrair dessa comutação.

Passo 2

Para verificar a comutação, calculamos
[\hat H,\hat S_{z}] = \hat H\,\hat S_{z} - \hat S_{z}\,\hat H = -\gamma\,B_{0}\,[\hat S_{z},\hat S_{z}] = -\gamma\,B_{0}\cdot 0 = 0.
Portanto \hat H e \hat S_{z} comutam.

Passo 3

Como [\hat H,\hat S_{z}]=0, concluímos que
  1. \hat H e \hat S_{z} possuem um conjunto de autovetores em comum.
  2. A projeção do spin ao longo do eixo z é constante no tempo (não muda sob evolução gerada por \hat H).
  3. O número quântico m, associado ao valor de \hat S_{z}, é um bom número quântico e não ocorre transição entre diferentes estados de projeção de spin induzida por \hat H.

Resposta

Sim, o Hamiltoniano comuta com \hat S_{z}. Isso significa que a projeção do spin ao longo de z é conservada, que \hat H e \hat S_{z} têm autovetores comuns e que o valor de m é um bom número quântico.

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