Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
O operador acima comuta com
? Quais informações podemos extrair desse resultado?
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano
O operador acima comuta com
Passo 1
O enunciado descreve um spin interagindo com um campo magnético externo ao longo do eixo
. O Hamiltoniano é dado por
Pergunta-se se
comuta com
e que informações podemos extrair dessa comutação.
Passo 2
Para verificar a comutação, calculamos
Portanto
e
comutam.
Passo 3
Como
, concluímos que
-
e possuem um conjunto de autovetores em comum. - A projeção do spin ao longo do eixo
é constante no tempo (não muda sob evolução gerada por ). - O número quântico
, associado ao valor de , é um bom número quântico e não ocorre transição entre diferentes estados de projeção de spin induzida por .
Resposta
Sim, o Hamiltoniano comuta com
. Isso significa que a projeção do spin ao longo de
é conservada, que
e
têm autovetores comuns e que o valor de
é um bom número quântico.