Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano e tem estado inicial descrito por
| psi(0)\rangle=C(\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle)
Determine a constante de normalização do estado acima.

Passo 1

O enunciado dá um estado de spin ao longo do eixo \hat{z}
|\psi(0)\rangle = C\bigl(\alpha\,|\uparrow\rangle + \beta\,|\downarrow\rangle\bigr)
e pede a constante de normalização C. Como \{|\uparrow\rangle,|\downarrow\rangle\} é uma base ortonormal, basta usar a condição de que o estado deve ter norma unitária.

Passo 2

A condição de normalização é
\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle = 1.
Calculando o produto interno, temos
\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle = |C|^2\bigl(\langle\uparrow|\uparrow\rangle\,|\alpha|^2+\langle\downarrow|\downarrow\rangle\,|\beta|^2\bigr) = |C|^2\bigl(|\alpha|^2+|\beta|^2\bigr).
Daí
|C|^2\bigl(|\alpha|^2+|\beta|^2\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad |C|=\frac{1}{\sqrt{|\alpha|^2+|\beta|^2}}.
Escolhendo C real e positivo, fica o valor acima.

Resposta

C = \frac{1}{\sqrt{|\alpha|^2 + |\beta|^2}}.

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