Um spin interage com um campo magnético externo ao longo do eixo
(\hat{z}), de acordo com o Hamiltoniano e tem estado inicial descrito por
| psi(0)\rangle=C(\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle)
Determine o estado do sistema num instante futuro t.

Passo 1

O enunciado trata de um spin- \tfrac12 num campo magnético estático ao longo de \hat z. O Hamiltoniano típico é
H = -\gamma\,B\,S_{z},
onde \gamma é o giromagnético e S_{z}=\tfrac{\hbar}{2}\sigma_{z}. As autofunções de H são |\uparrow\rangle e |\downarrow\rangle, com autovalores
E_{\uparrow}=-\gamma B\,\frac{\hbar}{2}, \quad E_{\downarrow}=+\gamma B\,\frac{\hbar}{2}.
O estado inicial dado é
|\psi(0)\rangle = C\bigl(\alpha\,|\uparrow\rangle+\beta\,|\downarrow\rangle\bigr),
onde C normaliza o estado. Para achar |\psi(t)\rangle, usaremos o operador de evolução temporal
\displaystyle U(t)=e^{-\tfrac{i}{\hbar}Ht}.

Passo 2

Escrevendo U(t) agindo sobre as autofunções de H:
U(t)\,|\uparrow\rangle =e^{-\tfrac{i}{\hbar}E_{\uparrow}t}\,|\uparrow\rangle =e^{-\tfrac{i}{\hbar}\bigl(-\gamma B\frac{\hbar}{2}\bigr)t}\,|\uparrow\rangle =e^{\,i\,\frac{\gamma B}{2}\,t}\,|\uparrow\rangle,
U(t)\,|\downarrow\rangle =e^{-\tfrac{i}{\hbar}E_{\downarrow}t}\,|\downarrow\rangle =e^{-\tfrac{i}{\hbar}\bigl(+\gamma B\frac{\hbar}{2}\bigr)t}\,|\downarrow\rangle =e^{-\,i\,\frac{\gamma B}{2}\,t}\,|\downarrow\rangle.
Definindo a frequência de Larmor \omega=\gamma B, as fases ficam e^{\pm i\omega t/2}.

Passo 3

Agora aplicamos U(t) ao estado inicial:
|\psi(t)\rangle =U(t)\,|\psi(0)\rangle =C\Bigl(\alpha\,U(t)|\uparrow\rangle+\beta\,U(t)|\downarrow\rangle\Bigr).

Passo 4

Substituindo as fases obtidas:
|\psi(t)\rangle =C\Bigl(\alpha\,e^{\,i\frac{\omega t}{2}}\,|\uparrow\rangle +\beta\,e^{-\,i\frac{\omega t}{2}}\,|\downarrow\rangle\Bigr).
Isto é o estado geral num instante t, com \omega=\gamma B e C o mesmo fator de normalização de t=0.

Resposta

|\psi(t)\rangle =C\Bigl(\alpha\,e^{\,i\frac{\omega t}{2}}\,|\uparrow\rangle +\beta\,e^{-\,i\frac{\omega t}{2}}\,|\downarrow\rangle\Bigr), \quad \omega=\gamma B.

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