1 /(5 \sqrt{ } 3-2)
O fator racionalizante de 5 \sqrt{ } 3-2 é 5 \sqrt{ } 3+2 (conjugado), pois (5 \sqrt{ } 3-2) .(5 \sqrt{ } 3+2)=75-4=71. A racionalização se dá assim: 1 /(5 \sqrt{ } 3-2) \cdot(5 \sqrt{ } 3+2) /(5 \sqrt{ } 3+2)=(5 \sqrt{ } 3+2) / 71

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da fração
\frac{1}{5\sqrt{3}-2}
ou seja, eliminar a raiz do denominador. Para isso, vamos usar o conceito de conjugado e a identidade
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.

Passo 2

Identificamos o denominador 5\sqrt{3}-2 como a-b com a=5\sqrt{3} e b=2. O conjugado (fator racionalizante) é
a+b = 5\sqrt{3} + 2.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado, sem alterar o valor da expressão:
\frac{1}{5\sqrt{3}-2}\;\cdot\;\frac{5\sqrt{3}+2}{5\sqrt{3}+2} =\frac{5\sqrt{3}+2}{(5\sqrt{3}-2)(5\sqrt{3}+2)}.

Passo 4

No denominador, aplicamos (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(5\sqrt{3})^2 - 2^2 = 25\cdot3 - 4 = 75 - 4 = 71.
Logo a fração fica
\frac{5\sqrt{3}+2}{71}.

Resposta

\frac{5\sqrt{3} + 2}{71}

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