Se
é integrável em
e
existe, calcule
.
Passo 1
O enunciado diz que
é integrável em
e que existe
Queremos calcular
O conteúdo principal aqui é analisar o comportamento assintótico da integral próximo a
, usando a existência de
.
Passo 2
Denotemos
Fixemos um
. Como
quando
, existe
tal que
Passo 3
Escrevemos a integral em duas partes, separando o intervalo
em
e
:
Passo 4
Mostramos que o segundo termo tende a zero quando
. Como
é integrável em
, em particular é limitada em
, digamos
aí. Então
Passo 5
No primeiro termo, escrevemos
f(t)=L+[f(t)-L] e separamos:
Passo 6
Calculamos cada parte:
1.
1.
Logo
- Como
para|f(t)-L|<varepsilon , temostin(0,de<a)
Como
varepsilon>0 era arbitrário, esse termo tende a zero.
Passo 7
Juntando tudo: