(star) Se f é integrável em [0,1] e lim x 0 f(x) existe, calcule lim x 0^+ x integralx^1 f(t)t^2 d t.

Passo 1

O enunciado diz que f é integrável em [0,1] e que existe
L = limxto0f(x)
Queremos calcular
limxto0^+ x integralx^1 f(t)t^2,dt
O conteúdo principal aqui é analisar o comportamento assintótico da integral próximo a t=0, usando a existência de limtto0f(t)=L.

Passo 2

Denotemos
L = limtto0 f(t)
Fixemos um varepsilon>0. Como f(t)to L quando tto0, existe de<a>0 tal que
|f(t)-L|<varepsilon para todo 0<t<de<a

Passo 3

Escrevemos a integral em duas partes, separando o intervalo [x,1] em [x,de<a] e [de<a,1]:
xintegralx^1f(t)t^2,dt = xintegralx^de<af(t)t^2,dt + xintegralde<a^1f(t)t^2,dt

Passo 4

Mostramos que o segundo termo tende a zero quando xto0. Como f é integrável em [0,1], em particular é limitada em [de<a,1], digamos l|f(t)r|<= M aí. Então
l|xintegralde<a^1f(t)t^2,dtr| <= xintegralde<a^1Mt^2,dt = xcdot Ml(1de<a-1r) ;xrightarrow[xto0];0

Passo 5

No primeiro termo, escrevemos f(t)=L+[f(t)-L] e separamos:
xintegralx^de<af(t)t^2,dt = L,xintegralx^de<a1t^2,dt + xintegralx^de<af(t)-Lt^2,dt

Passo 6

Calculamos cada parte:
1.
xintegralx^de<a1t^2,dt = xl[,-1tr]t=x^t=de<a = xl(1x-1de<ar) =1-xde<a ;xrightarrow[xto0];1
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L,xintegralx^de<a1t^2,dt ;xrightarrow[xto0];L
  1. Como |f(t)-L|<varepsilon para tin(0,de<a), temos
l|xintegralx^de<af(t)-Lt^2,dtr| <= xintegralx^de<avarepsilont^2,dt =varepsilonl(1-tfracxde<ar) ;xrightarrow[xto0];varepsilon
Como varepsilon>0 era arbitrário, esse termo tende a zero.

Passo 7

Juntando tudo:
xintegralx^1f(t)t^2,dt = underbracexintegralx^de<af(t)t^2,dtto L + underbracexintegralde<a^1f(t)t^2,dtto 0 ;xrightarrow[xto0];L

Resposta

limxto0^+xintegralx^1f(t)t^2,dt = limxto0f(x)

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