{ }^{\star} Resolva as inequações:
\frac{1-x}{(x-2)(x+3)} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{1 - x}{(x - 2)\,(x + 3)} \ge 0.
Isso envolve determinar o domínio (onde o denominador não se anula), encontrar onde o numerador e o denominador são zero, e montar um estudo de sinais para decidir em quais intervalos a expressão é não-negativa.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos da inequação:
– O numerador 1 - x anula-se em x = 1.
– O denominador (x - 2)(x + 3) anula-se em x = 2 e em x = -3, que ficam fora do domínio.
Logo, o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-3,2\} e os pontos que particionam a reta são -\infty,\,-3,\,1,\,2,\,+\infty.

Passo 3

Para fazer o estudo de sinais, fatoramos em três fatores:
1 - x,\quad x - 2,\quad x + 3,
cujo sinal é:
1 - x>0 se e só se x<1, e 1 - x<0 se x>1.
x - 2>0 se e só se x>2, e x - 2<0 se x<2.
x + 3>0 se e só se x>-3, e x + 3<0 se x<-3.

Passo 4

Agora analisamos em cada intervalo:
  1. x< -3: então 1 - x>0, x - 2<0, x + 3<0. O denominador (x - 2)(x + 3) é positivo (produto de dois negativos), logo a fração é positiva. Como queremos \ge0, aceitamos todo x< -3.
  2. -3<x<1: aqui 1 - x>0, x - 2<0, x + 3>0. O denominador é negativo, a fração é negativa, não satisfaz.
  3. 1<x<2: temos 1 - x<0, x - 2<0, x + 3>0. O denominador é negativo, a fração é positiva, satisfaz.
  4. x>2: então 1 - x<0, x - 2>0, x + 3>0. O denominador é positivo, a fração é negativa, não satisfaz.
    Também verificamos os pontos singulares: em x=1 a fração vale zero (numerador zero e denominador não zero), então incluímos x=1. Em x=-3 e x=2 o denominador é zero, ficam excluídos.

Resposta

(-\infty,-3)\,\cup\,[1,2)

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