{ }^{\star} Resolva as inequações:
\frac{x^{2}-1}{x}>-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x^{2}-1}{x} > -\,x
ou seja, encontrar todos os x (com x\neq0) que satisfazem essa desigualdade. Vamos reescrever tudo num único quociente para depois estudar o sinal.

Passo 2

Trazer -x para o lado esquerdo:
\frac{x^{2}-1}{x} + x > 0.
Colocando em denominador comum x (onde x\neq0):
\frac{x^{2}-1 + x^{2}}{x} > 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2x^{2}-1}{x} > 0.

Passo 3

Identificar os pontos críticos que anulam numerador ou denominador:
Numerador 2x^{2}-1=0
x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}},
e denominador x=0. Esses valores particionam a reta em quatro intervalos.

Passo 4

Analisar o sinal de \frac{2x^{2}-1}{x}:
  • Numerador 2x^{2}-1>0 se |x|>\frac{1}{\sqrt2}, e 2x^{2}-1<0 se |x|<\frac{1}{\sqrt2}.
  • Denominador x>0 se x>0, e x<0 se x<0.
    Para a razão ser positiva, numerador e denominador devem ter o mesmo sinal.
  • Se x>0, exige-se 2x^{2}-1>0, isto é x>\frac{1}{\sqrt2}.
  • Se x<0, exige-se 2x^{2}-1<0, isto é -\tfrac{1}{\sqrt2}<x<0.

Resposta

A solução da inequação é
\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\;\cup\;\left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right).

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