{ }^{\star} Resolva as inequações:
\frac{x^{2}-8 x+16}{2 x-1} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x^{2}-8x+16}{2x-1}\le 0.
Este é um problema de inequação racional: para resolvê-lo, vamos encontrar os pontos em que o numerador é zero ou o denominador é zero e depois analisar o sinal da expressão em cada região determinada por esses pontos.

Passo 2

Determinar as raízes do numerador e do denominador.
x^{2}-8x+16=(x-4)^{2},
logo o numerador se anula em x=4.
Para o denominador,
2x-1=0\implies x=\tfrac12.
O domínio da inequação é todo x real, exceto x=\tfrac12.

Passo 3

Analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente.
O numerador (x-4)^{2} é sempre não negativo e só vale zero em x=4.
O denominador 2x-1 é negativo para x<\tfrac12 e positivo para x>\tfrac12.

Passo 4

Construir o quadro de sinais da fração \frac{(x-4)^{2}}{2x-1}:
Para x<\tfrac12: numerador >0, denominador <0 ⇒ fração <0.
Para \tfrac12<x<4: numerador >0, denominador >0 ⇒ fração >0.
Em x=4: numerador =0, denominador \neq0 ⇒ fração =0.
Para x>4: numerador >0, denominador >0 ⇒ fração >0.
Queremos \frac{x^{2}-8x+16}{2x-1}\le0, ou seja fração negativa ou zero. Isso ocorre em
x<\tfrac12
ou em x=4.
Note que x=\tfrac12 é excluído do domínio.

Resposta

(-\infty,\tfrac12)\cup\{4\}

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