Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M_{2 \times 2} ?
W_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ b & d\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, d \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W_{1}=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[6pt] b & d\end{pmatrix}\,\middle|\,a,b,d\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial de M_{2\times2}. Sabemos que, para isso, basta mostrar que W_{1} contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 2

Verificamos se a matriz zero está em W_{1}. Basta observar que, para a=0, b=0, d=0,
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\in W_{1}.
Logo, W_{1} não é vazio e contém o vetor zero.]

Passo 3

Mostramos que W_{1} é fechado sob soma. Sejam
X=\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1}\\[4pt]b_{1} & d_{1}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad Y=\begin{pmatrix}a_{2} & b_{2}\\[4pt]b_{2} & d_{2}\end{pmatrix}
em W_{1}. Então
X+Y =\begin{pmatrix}a_{1}+a_{2} & b_{1}+b_{2}\\[4pt]b_{1}+b_{2} & d_{1}+d_{2}\end{pmatrix},
e claramente a_{1}+a_{2},\,b_{1}+b_{2},\,d_{1}+d_{2}\in\mathbb{R}, de modo que X+Y\in W_{1}.]

Passo 4

Mostramos que W_{1} é fechado sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]b & d\end{pmatrix}\in W_{1}.
Então
\lambda X =\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt]\lambda b & \lambda d\end{pmatrix},
e como \lambda a,\lambda b,\lambda d\in\mathbb{R}, segue que \lambda X\in W_{1}.]

Resposta

W_{1} é subespaço vetorial de M_{2\times2}.

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