Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M_{2 \times 2} ?
W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & c+1 \\\ c & d\end{array}\right) \right\rvert\, a, c, d \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado define
W_{2} = \left\{\begin{pmatrix}a & c+1\\[6pt]c & d\end{pmatrix}\,\middle|\,a,c,d\in\mathbb{R}\right\}
como um possível subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Para que W_2 seja subespaço, precisamos que ele contenha a matriz zero e seja fechado sob adição e multiplicação por escalar.]

Passo 2

Vamos ver se a matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
está em W_2. Para que uma matriz em W_2 seja igual a 0, precisaríamos encontrar a,c,d tais que
\begin{pmatrix}a & c+1\\[4pt]c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Da igualdade dos elementos obtemos c+1=0, logo c=-1. Mas então o elemento (2,1) ficaria c=-1\neq0. Não há escolha de a,c,d que produza a matriz zero.]

Passo 3

Como a matriz zero não pertence a W_2, já falha a condição básica para ser subespaço. Portanto, nem precisamos checar fechamento em soma ou escalar:

Resposta

W_{2} não é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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