Quais dos subconjuntos são Subespaços Vetoriais de V ?
W=(a, b, c) in R^3 mid a >= 0, V=R^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos
W = (a,b,c)in R^3 mid a>= 0
e
V = R^3
são subespaços vetoriais de V. Para isso vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto deve (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob soma e (iii) ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Checamos se W contém o vetor zero de R^3. O vetor zero é (0,0,0) e, como 0>= 0, temos (0,0,0)in W. Logo, a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Verificamos a fechadura de W sob soma. Se (a,b,c) e (a',b',c') estão em W, então a>=0 e a'>=0. Assim
a + a' ;>=; 0 + 0 ;=; 0,
portanto (a+a',,b+b',,c+c')in W. A condição (ii) também vale.

Passo 4

Agora testamos a fechadura de W sob multiplicação escalar. Tome um vetor (a,b,c)in W com a>0 e um escalar lambda = -1. Então
lambda(a,b,c) = (-a,,-b,,-c),
mas -a<0, o que tira lambda(a,b,c) de W. Isso quebra a condição (iii).

Passo 5

Concluímos que W não é subespaço vetorial de V, pois falha na fechadura escalar. Já V=R^3 satisfaz todas as condições triviais (é subespaço de si mesmo).

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.
V=R^3 é subespaço vetorial de V.

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