Quais dos subconjuntos são Subespaços Vetoriais de
?
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos
e
são subespaços vetoriais de
. Para isso vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto deve (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob soma e (iii) ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Checamos se
contém o vetor zero de
. O vetor zero é
e, como
, temos
. Logo, a condição (i) está satisfeita.
Passo 3
Verificamos a fechadura de
sob soma. Se
e
estão em
, então
e
. Assim
portanto
. A condição (ii) também vale.
Passo 4
Agora testamos a fechadura de
sob multiplicação escalar. Tome um vetor
com
e um escalar
. Então
mas
, o que tira
de
. Isso quebra a condição (iii).
Passo 5
Concluímos que
não é subespaço vetorial de
, pois falha na fechadura escalar. Já
satisfaz todas as condições triviais (é subespaço de si mesmo).