SUBESPAÇOS: Mostre que cada conjunto a seguir é um subespaço vetorial do espaço dado. Depois, calcule uma base e a dimensão para cada subespaço.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
S = { A = (a b; c d) ∈ M₂(ℝ) : a + d = 0 e b = 0 }. O conteúdo aqui é subespaços vetoriais: precisamos verificar que S contém o zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar, e então encontrar uma base e a dimensão.
S = { A = (a b; c d) ∈ M₂(ℝ) : a + d = 0 e b = 0 }. O conteúdo aqui é subespaços vetoriais: precisamos verificar que S contém o zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar, e então encontrar uma base e a dimensão.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero 0₂ = (0 0; 0 0) satisfaz a + d = 0 + 0 = 0 e b = 0, logo 0₂ ∈ S.
Passo 3
Tomemos duas matrizes em S,
A₁ = (a₁ 0; c₁ d₁) com d₁ = −a₁,
A₂ = (a₂ 0; c₂ d₂) com d₂ = −a₂.
Sua soma é
A₁ + A₂ = (a₁ + a₂ 0; c₁ + c₂ d₁ + d₂)
= (a₁ + a₂ 0; c₁ + c₂ −(a₁ + a₂)),
que satisfaz (a₁ + a₂) + (−(a₁ + a₂)) = 0 e b = 0, então A₁ + A₂ ∈ S.
A₁ = (a₁ 0; c₁ d₁) com d₁ = −a₁,
A₂ = (a₂ 0; c₂ d₂) com d₂ = −a₂.
Sua soma é
A₁ + A₂ = (a₁ + a₂ 0; c₁ + c₂ d₁ + d₂)
= (a₁ + a₂ 0; c₁ + c₂ −(a₁ + a₂)),
que satisfaz (a₁ + a₂) + (−(a₁ + a₂)) = 0 e b = 0, então A₁ + A₂ ∈ S.
Passo 4
Para um escalar α ∈ ℝ e A = (a 0; c d) ∈ S com d = −a, temos
αA = (αa 0; αc αd) = (αa 0; αc −αa),
o que satisfaz αa + (−αa) = 0 e b = 0. Logo αA ∈ S.
αA = (αa 0; αc αd) = (αa 0; αc −αa),
o que satisfaz αa + (−αa) = 0 e b = 0. Logo αA ∈ S.
Passo 5
Qualquer matriz em S pode ser escrita como
Isso mostra que S é gerado pelos vetores
Passo 6
Como encontramos dois vetores linearmente independentes que geram S, uma base de S é {E₁, E₂} e a dimensão de S é dim(S) = 2.
Resposta
Uma base para S é
e a dimensão é 2.