SUBESPAÇOS: Mostre que cada conjunto a seguir é um subespaço vetorial do espaço dado. Depois, calcule uma base e a dimensão para cada subespaço.
S=(lla & b c & d) in M2(R): a+d=0 e b=0

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = { A = (a b; c d) ∈ M₂(ℝ) : a + d = 0 e b = 0 }. O conteúdo aqui é subespaços vetoriais: precisamos verificar que S contém o zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar, e então encontrar uma base e a dimensão.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0₂ = (0 0; 0 0) satisfaz a + d = 0 + 0 = 0 e b = 0, logo 0₂ ∈ S.

Passo 3

Tomemos duas matrizes em S,
A₁ = (a₁ 0; c₁ d₁) com d₁ = −a₁,
A₂ = (a₂ 0; c₂ d₂) com d₂ = −a₂.
Sua soma é
A₁ + A₂ = (a₁ + a₂ 0; c₁ + c₂ d₁ + d₂)
= (a₁ + a₂ 0; c₁ + c₂ −(a₁ + a₂)),
que satisfaz (a₁ + a₂) + (−(a₁ + a₂)) = 0 e b = 0, então A₁ + A₂ ∈ S.

Passo 4

Para um escalar α ∈ ℝ e A = (a 0; c d) ∈ S com d = −a, temos
αA = (αa 0; αc αd) = (αa 0; αc −αa),
o que satisfaz αa + (−αa) = 0 e b = 0. Logo αA ∈ S.

Passo 5

Qualquer matriz em S pode ser escrita como
M = a & 0 c & -a = a1 & 0 0 & -1 + c0 & 0 1 & 0
Isso mostra que S é gerado pelos vetores
E1 = 1 & 0 0 & -1, E2 = 0 & 0 1 & 0

Passo 6

Como encontramos dois vetores linearmente independentes que geram S, uma base de S é {E₁, E₂} e a dimensão de S é dim(S) = 2.

Resposta

Uma base para S é
1 & 0 0 & -1,;0 & 0 1 & 0
e a dimensão é 2.

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