Por substituição mude as integrais a integrais racionais
\int \frac{\sqrt[3]{x-8}}{x} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int \frac{\sqrt[3]{x-8}}{x}\,dx
e pede que, por substituição, transformemos essa integral em integrais de funções racionais. Vamos usar mudança de variável para eliminar a raiz e obter uma expressão puramente racional em termos da nova variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
t = \sqrt[3]{x - 8} = (x-8)^{1/3}.
Então temos
t^3 = x - 8 \quad\Longrightarrow\quad x = t^3 + 8.

Passo 3

Diferenciando a relação x = t^3 + 8, obtemos
dx = 3\,t^2\,dt.
Além disso, no denominador aparece x, que agora é t^3+8. E o numerador \sqrt[3]{x-8} é justamente t. Substituindo tudo na integral original:

Passo 4

\int \frac{\sqrt[3]{x-8}}{x}\,dx = \int \frac{t}{\,t^3+8\,}\;\bigl(3\,t^2\,dt\bigr) = 3\int \frac{t^3}{\,t^3+8\,}\,dt.
Para mudar a integral em integrais racionais, fazemos a divisão de polinômios:
\frac{t^3}{\,t^3+8\,} = 1 - \frac{8}{\,t^3+8\,} \quad\Longrightarrow\quad 3\int \frac{t^3}{t^3+8}\,dt = 3\int \!dt \;-\; 24\int \frac{dt}{\,t^3+8\,}.

Resposta

A integral transformou-se em duas integrais racionais:
\int \frac{\sqrt[3]{x-8}}{x}\,dx = 3\int dt \;-\; 24\int \frac{dt}{t^3+8}.

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