Queremos o valor numérico (e, se possível, uma forma fechada) da soma infinita.
A expressão tem fatores polinomiais e quadráticos no denominador; é natural tentar simplificar e decompor a termo mais simples para usar somas conhecidas (ou funções especiais).
Não há imagens nem dados adicionais.
Passo 2
Primeira simplificação algébrica (cancelamento que facilita): note que k^{2}-1=(k-1)(k+1). Então o fator (k+1) no numerador cancela o do denominador. Assim, para cada termo a_k temos
Objetivo: decompor cada termo em parcelas mais simples (razões com denominadores (k^{2}+4)\) e \((k^{2}+4)^{2}\)) para poder expressar \(S\) em somas conhecidas. Procuro uma decomposição do tipo
\[\frac{(2k-1)(k-1)}{(k^{2}+4)^{2}}=\frac{A}{k^{2}+4}+\frac{Bk+C}{(k^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C são constantes a determinar. Multiplico ambos os lados por (k^{2}+4)^{2} e igualo polinômios:
(2k-1)(k-1)=A(k^{2}+4)+(Bk+C).
Expando e igualo coeficientes. Primeiro a esquerda:
(2k-1)(k-1)=2k^{2}-3k+1.
A direita:
A k^{2} + 4A + Bk + C.
Comparando coeficientes de k^{2},k,1 obtemos o sistema
\begin{cases} A = 2,\\[4pt] B = -3 \quad(\text{pois coeficiente de }k \text{ é }B),\\[4pt] 4A + C = 1. \end{cases}
Da primeira equação A=2\]. Da terceira, com \(A=2, temos 8 + C = 1 logo C=-7. Assim
Explico rapidamente de forma intuitiva: a função \pi\coth(\pi z) tem polos simples em z=k\in\mathbb{Z} com resíduos que geram essa soma; desenvolvendo a expansão e isolando a parte correspondente a k\ge 1 obtém-se a fórmula acima. Para a=2,
Para a=2 obtemos o valor explícito substituindo a=2.
Passo 7
Cálculo de S_3(a)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}. Aqui usaremos uma identidade que envolve números complexos: note que
\frac{1}{(k\pm i a)^{2}}=\frac{1}{k^{2}+a^{2}}\mp\frac{2 i a k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}-\frac{a^{2}}{(k^{2}+a^{2})^{2}},
mas a forma mais direta é observar a combinação
\frac{1}{(k-ia)^{2}}-\frac{1}{(k+ia)^{2}}=\frac{4 i a k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}.
Dessa identidade isolamos
\frac{k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{1}{4 i a}\left(\frac{1}{(k-ia)^{2}}-\frac{1}{(k+ia)^{2}}\right).
Somando sobre k=1,2,\dots e usando a definição da trigama (poligamma de ordem 1) \psi_{1}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n+z)^{2}}, obtemos
\begin{aligned} S_3(a)&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(k^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{1}{4 i a}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(k-ia)^{2}}-\frac{1}{(k+ia)^{2}}\right)\\[4pt] &=\frac{1}{4 i a}\left(\psi_{1}(1-ia)-\psi_{1}(1+ia)\right). \end{aligned}
Como \psi_{1}(\overline{z})=\overline{\psi_{1}(z)}, a diferença acima é proporcional à parte imaginária de \psi_{1}(1+ia). Simplificando a expressão:
onde \Im denota a parte imaginária. Para a=2 ficamos com
S_3(2)=-\frac{1}{4}\Im\!\big(\psi_{1}(1+2i)\big).
(Aqui \psi_{1} é a trigama; essa expressão é exata e habitual quando somas racionais envolvem potências quadráticas.)]
Passo 8
Agora reúno as três somas para obter S. Lembre que S=2S_1(2)-3S_3(2)-7S_2(2). Substituindo as fórmulas de S_1,S_2,S_3 com a=2 e fazendo simplificações algébricas obtemos uma forma fechada:
Essa é uma expressão fechada e exata: combina funções hiperbólicas elementares (coth, csch) e a trigama \psi_{1} avaliada em um ponto complexo. Para conferência numérica, avaliando essa expressão obtemos aproximadamente
S\approx 0{,}4936679\ldots
(é útil para checar contra somas numéricas diretas dos termos).]