1. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2 k-1)\left(k^{2}-1\right)}{(k+1)\left(k^{2}+4\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede somar a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k-1)\left(k^{2}-1\right)}{(k+1)\left(k^{2}+4\right)^{2}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Queremos o valor numérico (e, se possível, uma forma fechada) da soma infinita.
  • A expressão tem fatores polinomiais e quadráticos no denominador; é natural tentar simplificar e decompor a termo mais simples para usar somas conhecidas (ou funções especiais).
  • Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Primeira simplificação algébrica (cancelamento que facilita): note que k^{2}-1=(k-1)(k+1). Então o fator (k+1) no numerador cancela o do denominador. Assim, para cada termo a_k temos
a_k=\frac{(2k-1)(k^{2}-1)}{(k+1)(k^{2}+4)^{2}}=\frac{(2k-1)(k-1)}{(k^{2}+4)^{2}}.
Escrevo explicitamente a série que vamos estudar:
S=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k-1)(k-1)}{(k^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Objetivo: decompor cada termo em parcelas mais simples (razões com denominadores (k^{2}+4)\) e \((k^{2}+4)^{2}\)) para poder expressar \(S\) em somas conhecidas. Procuro uma decomposição do tipo \[\frac{(2k-1)(k-1)}{(k^{2}+4)^{2}}=\frac{A}{k^{2}+4}+\frac{Bk+C}{(k^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C são constantes a determinar. Multiplico ambos os lados por (k^{2}+4)^{2} e igualo polinômios:
(2k-1)(k-1)=A(k^{2}+4)+(Bk+C).
Expando e igualo coeficientes. Primeiro a esquerda:
(2k-1)(k-1)=2k^{2}-3k+1.
A direita:
A k^{2} + 4A + Bk + C.
Comparando coeficientes de k^{2},k,1 obtemos o sistema
\begin{cases} A = 2,\\[4pt] B = -3 \quad(\text{pois coeficiente de }k \text{ é }B),\\[4pt] 4A + C = 1. \end{cases}é
Da primeira equação A=2\]. Da terceira, com \(A=2, temos 8 + C = 1 logo C=-7. Assim
\frac{(2k-1)(k-1)}{(k^{2}+4)^{2}}=\frac{2}{k^{2}+4}+\frac{-3k-7}{(k^{2}+4)^{2}}.]

Passo 4

Agora escrevo a soma S em termos de somas mais simples:
S=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{k^{2}+4}-\frac{3k+7}{(k^{2}+4)^{2}}\right).
Separando:
S=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+4}-3\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(k^{2}+4)^{2}}-7\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k^{2}+4)^{2}}.
Defino as somas auxiliares (para a>0 vou usar mais geral e depois ponho a=2):
S_1(a)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+a^{2}},\qquad S_2(a)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k^{2}+a^{2})^{2}},\qquad S_3(a)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}.
No nosso caso a=2 e
S=2S_1(2)-3S_3(2)-7S_2(2).

Passo 5

Cálculo de S_1(a) (fórmula clássica). Há uma fórmula conhecida (pode-se obter por séries de Fourier ou por somas de resíduos) que diz, para a>0,
\boxed{\,S_1(a)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+a^{2}}=-\frac{1}{2a^{2}}+\frac{\pi}{2a}\coth(\pi a)\,.}
Explico rapidamente de forma intuitiva: a função \pi\coth(\pi z) tem polos simples em z=k\in\mathbb{Z} com resíduos que geram essa soma; desenvolvendo a expansão e isolando a parte correspondente a k\ge 1 obtém-se a fórmula acima. Para a=2,
S_1(2)=-\frac{1}{8}+\frac{\pi}{4}\coth(2\pi).

Passo 6

Cálculo de S_2(a) usando derivação. Note que
\frac{d}{da}\left(\frac{1}{k^{2}+a^{2}}\right)=-\frac{2a}{(k^{2}+a^{2})^{2}}.
Somando sobre k\ge1 e isolando \sum 1/(k^{2}+a^{2})^{2} obtemos
S_2(a)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k^{2}+a^{2})^{2}}=-\frac{1}{2a}\frac{d}{da}S_1(a).
Então derivamos a expressão de S_1(a):
S_1(a)=-\frac{1}{2a^{2}}+\frac{\pi}{2a}\coth(\pi a).
Derivando (com cuidado: produto e cadeia):
\frac{d}{da}S_1(a)=\frac{1}{a^{3}}-\frac{\pi}{2a^{2}}\coth(\pi a)-\frac{\pi^{2}}{2a}\operatorname{csch}^{2}(\pi a).
Portanto
\boxed{\,S_2(a)=-\frac{1}{2a^{4}}+\frac{\pi}{4a^{3}}\coth(\pi a)+\frac{\pi^{2}}{4a^{2}}\operatorname{csch}^{2}(\pi a)\,.}
Para a=2 obtemos o valor explícito substituindo a=2.

Passo 7

Cálculo de S_3(a)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}. Aqui usaremos uma identidade que envolve números complexos: note que
\frac{1}{(k\pm i a)^{2}}=\frac{1}{k^{2}+a^{2}}\mp\frac{2 i a k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}-\frac{a^{2}}{(k^{2}+a^{2})^{2}},
mas a forma mais direta é observar a combinação
\frac{1}{(k-ia)^{2}}-\frac{1}{(k+ia)^{2}}=\frac{4 i a k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}.
Dessa identidade isolamos
\frac{k}{(k^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{1}{4 i a}\left(\frac{1}{(k-ia)^{2}}-\frac{1}{(k+ia)^{2}}\right).
Somando sobre k=1,2,\dots e usando a definição da trigama (poligamma de ordem 1) \psi_{1}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n+z)^{2}}, obtemos
\begin{aligned} S_3(a)&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(k^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{1}{4 i a}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(k-ia)^{2}}-\frac{1}{(k+ia)^{2}}\right)\\[4pt] &=\frac{1}{4 i a}\left(\psi_{1}(1-ia)-\psi_{1}(1+ia)\right). \end{aligned}
Como \psi_{1}(\overline{z})=\overline{\psi_{1}(z)}, a diferença acima é proporcional à parte imaginária de \psi_{1}(1+ia). Simplificando a expressão:
\boxed{\,S_3(a)=-\frac{1}{2a}\Im\!\big(\psi_{1}(1+ia)\big)\,}
onde \Im denota a parte imaginária. Para a=2 ficamos com
S_3(2)=-\frac{1}{4}\Im\!\big(\psi_{1}(1+2i)\big).
(Aqui \psi_{1} é a trigama; essa expressão é exata e habitual quando somas racionais envolvem potências quadráticas.)]

Passo 8

Agora reúno as três somas para obter S. Lembre que S=2S_1(2)-3S_3(2)-7S_2(2). Substituindo as fórmulas de S_1,S_2,S_3 com a=2 e fazendo simplificações algébricas obtemos uma forma fechada:
primeiro, dos passos anteriores:
S_1(2)=-\frac{1}{8}+\frac{\pi}{4}\coth(2\pi),
S_2(2)=-\frac{1}{32}+\frac{\pi}{32}\coth(2\pi)+\frac{\pi^{2}}{16}\operatorname{csch}^{2}(2\pi),
S_3(2)=-\frac{1}{4}\Im\!\big(\psi_{1}(1+2i)\big).
Fazendo a substituição e simplificando os termos racionais e os que envolvem \coth e \operatorname{csch}^{2} (álgebra direta), obtemos
\begin{aligned} S &=2S_1(2)-3S_3(2)-7S_2(2)\\[4pt] &=-\frac{1}{32}+\frac{9\pi}{32}\coth(2\pi)-\frac{7\pi^{2}}{16}\operatorname{csch}^{2}(2\pi) +\frac{3}{4}\Im\!\big(\psi_{1}(1+2i)\big). \end{aligned}
Alternativamente, escrevendo a parte que envolve \psi_{1} como diferença (para mostrar que a expressão é real),
S=-\frac{1}{32}+\frac{9\pi}{32}\coth(2\pi)-\frac{7\pi^{2}}{16}\operatorname{csch}^{2}(2\pi) +\frac{3}{8i}\big(\psi_{1}(1+2i)-\psi_{1}(1-2i)\big).
Essa é uma expressão fechada e exata: combina funções hiperbólicas elementares (coth, csch) e a trigama \psi_{1} avaliada em um ponto complexo. Para conferência numérica, avaliando essa expressão obtemos aproximadamente
S\approx 0{,}4936679\ldots
(é útil para checar contra somas numéricas diretas dos termos).]

Resposta

-\dfrac{1}{32}+\dfrac{9\pi}{32}\coth(2\pi)-\dfrac{7\pi^{2}}{16}\operatorname{csch}^{2}(2\pi) +\dfrac{3}{4}\Im\!\big(\psi_{1}(1+2i)\big)\approx 0{,}4936679.

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