- Use o Teorema do Valor Médio para provar as seguintes desigualdades:
a)
para todos
.
b)
para todos
.
c)
para todos
.
d)
para todos
.
- Em cada item abaixo, estude o crescimento de uma função adequada para provar as desigualdades enunciadas.
a)
para todo
.
b)
para todo
.
c)
para todo
.
d)
para todos
e
.
- Encontre o valor mínimo da função
dada por
. Conclua que
para todos
.
- Dado
, seja
dada por
.
a) Determine
de modo que
seja um ponto de mínimo local de
.
b) Determine
de modo que
seja um ponto de mínimo local de
.
c) Mostre que
não tem ponto de máximo local para todo
.
- Dado
, seja
dada por
. Determine o menor valor de
para o qual tem-se
para todo
.
- Seja
uma função derivável.
a) Mostre que
é uma função par se, e somente se,
é uma função ímpar.
b) Mostre que
é uma função ímpar se, e somente se,
e
é uma função par. A hipótese
pode ser omitida?
c) Mostre que se
é periódica, então
também é periódica. A recíproca é verdadeira?
- Seja
uma função contínua em
e derivável em
[. Suponha que
,
e
. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando.
a) A equação
tem ao menos uma solução no intervalo
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
a) Determine
b) Determine
c) Mostre que
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Mostre que se
a) A equação
Passo 1
O enunciado reúne vários itens sobre aplicação do Teorema do Valor Médio (TVM), estudo de monotonicidade e otimização de funções. Em cada desigualdade do item 1 usamos o TVM em uma função apropriada; no item 2 estudamos crescimento ou convexidade; no item 3 calculamos o mínimo de
; no item 4 achamos parâmetros para que
tenha mínimo em pontos dados; no item 5 escolhemos
de modo que
; no item 6 mostramos relações de paridade entre
e
e periodicidade; no item 7(a) aplicamos o Teorema de Bolzano (TVI).
Passo 2
Item 1(a). Seja
para
. Tem-se
Para todo
temos
, logo
. Pelo TVM existe
tal que
e como
a desigualdade é estrita:
Passo 3
Item 1(b). Defina
Então
pois
. Logo
é estritamente crescente e
Passo 4
Item 1(c). Seja
Temos
Para
tem-se
, logo
. Pelo TVM existe
com
Como
e
resulta
Passo 5
Item 1(d). Considere
Então
Pelo TVM, para
, existe
tal que
Como a função
atinge máximo
em
, temos
e assim
Passo 6
Item 2(a). Defina
Calcula-se
Logo
cresce para
e
, de onde
, isto é
Passo 7
Item 2(b). (i) Para provar
considere
. Tem
e
, que é
em
, logo
.
(ii) Para use
, com
e
em
. Assim
(ii) Para
Passo 8
Item 2(c). Mostramos
para
. Defina
então
é negativo para
e positivo para
. O mínimo ocorre em
, com
. Logo
e
estritamente se
.
Passo 9
Item 2(d). Seja
Então
e
Para
,
e
; para
,
e
. Logo
em todo
, ou seja
Passo 10
Item 3. Considere
. Tem
Como
muda de negativo para positivo em
, esse é mínimo e
Logo para
vale
Passo 11
Item 4. Seja
.
(i) . Para ter mínimo em
precisamos
. Então
(i)
logo mínimo local.
(ii) Para fazemos
. E
(ii) Para
(iii) A equação crítica
dá
. Substituindo em
obtemos sempre
, logo todo ponto crítico é mínimo. Não há máximo local.
Passo 12
Item 5. Para
,
Nesse
vale
Queremos
. Então
Logo o menor
é
.
Passo 13
Item 6(a).
é par
. Derivando,
, ou seja
:
é ímpar. O recíproco segue igual.
(b) Se é ímpar então
e derivando
:
é par. Reciprocamente, se
e
é par então
(b) Se
logo
é ímpar. A condição
é essencial.
(c) Se é
-periódica,
. Diferenciando,
, logo
é periódica. A recíproca falha (ex.:
é periódica, mas
não é).
(c) Se
Passo 14
Item 7(a). Em
temos
. Pela continuidade e pelo Teorema de Bolzano existe
tal que
.
Resposta
(7 a) Verdadeira.