1. Use o Teorema do Valor Médio para provar as seguintes desigualdades:
    a) b^b-a^a>a^a(b-a) para todos 1 <= a<b.
    b) tan btan a>ba para todos 0<a<b<pi2.
    c) 0<ln bb-ln aa <= b-aa^2 para todos 1 <= a<b <= e.
    d) (ln b)^2-(ln a)^2 <= 2e(b-a) para todos 1 <= a<b.
  2. Em cada item abaixo, estude o crescimento de uma função adequada para provar as desigualdades enunciadas.
    a) 2 x arctan x>ln (1+x^2) para todo x neq 0.
    b) 1-1x <= ln x <= x-1 para todo x>0.
    c) e^a>a^e para todo a>0, a neq e.
    d) (1+x)^p >= 1+p x para todos p>1 e x>-1.
  3. Encontre o valor mínimo da função f:] 0,+infty[ R dada por f(x)=e^xx. Conclua que e^a+ba b >= e^2 para todos a, b>0.
  4. Dado a in R, seja fa: R backslash0 R dada por fa(x)=x^2+ax.
    a) Determine a de modo que x=2 seja um ponto de mínimo local de fa.
    b) Determine a de modo que x=-3 seja um ponto de mínimo local de fa.
    c) Mostre que fa não tem ponto de máximo local para todo a in R.
  5. Dado a>0, seja fa:] 0,+infty[ R dada por fa(x)=5 x^2+ax^5. Determine o menor valor de a para o qual tem-se fa(x) >= 28 para todo x>0.
  6. Seja f: R R uma função derivável.
    a) Mostre que f é uma função par se, e somente se, f^prime é uma função ímpar.
    b) Mostre que f é uma função ímpar se, e somente se, f(0)=0 e f^prime é uma função par. A hipótese f(0)=0 pode ser omitida?
    c) Mostre que se f é periódica, então f^prime também é periódica. A recíproca é verdadeira?
  7. Seja g:[-1,2] R uma função contínua em [-1,2] e derivável em ]-1,2 [. Suponha que g(-1)=0, g(0)=4, g(1)=2 e g(2)=2. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando.
    a) A equação g(x)=3 tem ao menos uma solução no intervalo [-1,0].

Passo 1

O enunciado reúne vários itens sobre aplicação do Teorema do Valor Médio (TVM), estudo de monotonicidade e otimização de funções. Em cada desigualdade do item 1 usamos o TVM em uma função apropriada; no item 2 estudamos crescimento ou convexidade; no item 3 calculamos o mínimo de f(x)=e^x/x; no item 4 achamos parâmetros para que fa(x)=x^2+a/x tenha mínimo em pontos dados; no item 5 escolhemos a de modo que fa(x)=5x^2+a/x^5>=28; no item 6 mostramos relações de paridade entre f e f' e periodicidade; no item 7(a) aplicamos o Teorema de Bolzano (TVI).

Passo 2

Item 1(a). Seja g(x)=x^x para x>=1. Tem-se
g'(x)=x^x(ln x+1)
Para todo x>=1 temos ln x+1>=1, logo g'(x)>= x^x. Pelo TVM existe cin(a,b) tal que
b^b-a^a=g(b)-g(a)=g'(c),(b-a)>= c^c,(b-a)>= a^a(b-a),
e como g'(c)>0 a desigualdade é estrita:
b^b-a^a>a^a(b-a)

Passo 3

Item 1(b). Defina
f(x)=lnl(tan xr)-ln x, 0<a<b<tfracpi2
Então
f'(x)=ddxln(tan x)-1x =sec^2xtan x-1x =1sin xcos x-1x>0
pois sin xcos x<x. Logo f é estritamente crescente e
f(b)>f(a)implies ln!l(tan br)-ln b>ln!l(tan ar)-ln a implies tan btan a> b a

Passo 4

Item 1(c). Seja
g(x)=ln xx,1<= a<b<= e
Temos
g'(x)=1-ln xx^2
Para xin[a,b]subset[1,e] tem-se 0<=ln x<=1, logo g'(x)>=0. Pelo TVM existe cin(a,b) com
ln bb-ln aa =g'(c),(b-a) =1-ln cc^2(b-a)
Como 1-ln c<=1 e c>= a resulta
0<ln bb-ln aa <=1a^2(b-a)

Passo 5

Item 1(d). Considere
h(x)=l(ln xr)^2, x>=1
Então
h'(x)=2ln xx
Pelo TVM, para 1<= a<b, existe cin(a,b) tal que
(ln b)^2-(ln a)^2 =h'(c),(b-a) =2ln cc(b-a)
Como a função ln x/x atinge máximo 1/e em x=e, temos ln c/c<=1/e e assim
(ln b)^2-(ln a)^2<=2e(b-a)

Passo 6

Item 2(a). Defina
f(x)=2xarctan x-lnl(1+x^2r), x>0
Calcula-se
f'(x)=2arctan x+2xcdot11+x^2-2x1+x^2 =2arctan x>0
Logo f cresce para x>0 e f(0)=0, de onde f(x)>0, isto é
2xarctan x>ln(1+x^2)

Passo 7

Item 2(b). (i) Para provar ln x<= x-1 considere g(x)=x-1-ln x. Tem g(1)=0 e g'(x)=1-1/x, que é >=0 em x>0, logo g(x)>=0.
(ii) Para 1-tfrac1x<=ln x use h(x)=ln x-(1-1/x), com h(1)=0 e h'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2>=0 em x>0. Assim
1-1x<=ln x<= x-1

Passo 8

Item 2(c). Mostramos e^a>a^e para a>0,ane e. Defina
g(a)=ln!l(e^a/a^er)=a-eln a,
então
g'(a)=1- e a
é negativo para a<e e positivo para a>e. O mínimo ocorre em a=e, com g(e)=0. Logo g(a)>=0 e
e^a>= a^e,
estritamente se ane e.

Passo 9

Item 2(d). Seja
h(x)=(1+x)^p-1-px, p>1,;x>-1
Então h(0)=0 e
h'(x)=pl((1+x)^p-1-1r)
Para x>0, (1+x)^p-1>1 e h'(x)>0; para -1<x<0, (1+x)^p-1<1 e h'(x)<0. Logo h(x)>=0 em todo -1<x, ou seja
(1+x)^p>=1+px

Passo 10

Item 3. Considere f(x)=e^x/x,;x>0. Tem
f'(x)=e^x(x-1)x^2, f'(x)=0iff x=1
Como f' muda de negativo para positivo em x=1, esse é mínimo e
fmin=f(1)=e
Logo para a,b>0 vale
e^a+bab =e^aacdote^bb>= ecdot e=e^2

Passo 11

Item 4. Seja fa(x)=x^2+a/x.
(i) fa'(x)=2x-a/x^2. Para ter mínimo em x=2 precisamos fa'(2)=0implies4-a/4=0implies a=16. Então
fa''(x)=2+2ax^3, fa''(2)=2+2cdot16/8=6>0,
logo mínimo local.
(ii) Para x=-3 fazemos fa'(-3)=0implies -6-a/9=0implies a=-54. E
fa''(-3)=2+2(-54)/(-27)=6>0
(iii) A equação crítica fa'(x)=0 a=2x^3. Substituindo em fa''(x) obtemos sempre 6>0, logo todo ponto crítico é mínimo. Não há máximo local.

Passo 12

Item 5. Para fa(x)=5x^2+a/x^5,
fa'(x)=10x-5a/x^6=0implies a=2x^7
Nesse x vale
fmin=5x^2+2x^7x^5=7x^2
Queremos 7x^2>=28implies x^2>=4implies x>=2. Então
a=2x^7>=2cdot2^7=256
Logo o menor a é 256.

Passo 13

Item 6(a). f é par iff f(-x)=f(x). Derivando, f'(-x)cdot(-1)=f'(x), ou seja f'(-x)=-f'(x): f' é ímpar. O recíproco segue igual.
(b) Se f é ímpar então f(0)=0 e derivando f'(-x)cdot(-1)=-f'(x)implies f'(-x)=f'(x): f' é par. Reciprocamente, se f(0)=0 e f' é par então
f(x)=integral0^x f'(t),dt=-integral0^-xf'(-u),du=-integral0^-xf'(u),du=-f(-x),
logo f é ímpar. A condição f(0)=0 é essencial.
(c) Se f é T-periódica, f(x+T)=f(x). Diferenciando, f'(x+T)=f'(x), logo f' é periódica. A recíproca falha (ex.: f'(x)=0 é periódica, mas f(x)=x não é).

Passo 14

Item 7(a). Em [-1,0] temos g(-1)=0<3<4=g(0). Pela continuidade e pelo Teorema de Bolzano existe cin(-1,0) tal que g(c)=3.

Resposta

(7 a) Verdadeira.

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