\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k \ln k}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k \ln k}.
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries alternantes (Critério de Leibniz) e teste de convergência absoluta (Teste da Integral).

Passo 2

Aplicamos o Critério de Leibniz para séries alternantes. Definimos
a_k = \frac{1}{k \ln k},
com sinal alternante (-1)^k. Precisamos verificar duas condições:
  1. a_k é decrescente para k\ge2.
  2. \lim_{k\to\infty} a_k = 0.
Para (1), note que a função f(x)=1/(x\ln x) é decrescente em [2,\infty) pois sua derivada é negativa.
Para (2), claramente
\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k\ln k} = 0.
Logo, pela Leibniz, a série converge.

Passo 3

Agora verificamos convergência absoluta, ou seja, a série
\sum_{k=2}^{\infty} \Bigl|\frac{(-1)^{k}}{k \ln k}\Bigr| =\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln k}.
Usamos o Teste da Integral: considere
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x}.
Fazendo a substituição u=\ln x, du=dx/x, obtemos
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x\ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u} = \bigl[\ln u\bigr]_{\ln 2}^{\infty} = \lim_{U\to\infty} \ln U - \ln(\ln 2) = \infty.
Como a integral diverge, a série de termos positivos \sum 1/(k\ln k) também diverge. Portanto, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge conditionally (converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

Exercícios relacionados