Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries alternantes (Critério de Leibniz) e teste de convergência absoluta (Teste da Integral).
Passo 2
Aplicamos o Critério de Leibniz para séries alternantes. Definimos
com sinal alternante
. Precisamos verificar duas condições:
-
é decrescente para . -
.
Para (1), note que a função
é decrescente em
pois sua derivada é negativa.
Para (2), claramente
Para (2), claramente
Logo, pela Leibniz, a série converge.
Passo 3
Agora verificamos convergência absoluta, ou seja, a série
Usamos o Teste da Integral: considere
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Como a integral diverge, a série de termos positivos
também diverge. Portanto, não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge conditionally (converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).