Use o teste da razão para a convergência absoluta (Teorema 9.6.5) para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{5^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{k}{5^{k}}
usando o teste da razão para convergência absoluta (Teorema 9.6.5).
Para isso, vamos aplicar o teste na série de valores absolutos \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{k}\,\tfrac{k}{5^{k}}\bigr| = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{5^{k}}.

Passo 2

Defina a_{k} = \frac{k}{5^{k}}. O teste da razão exige calcular
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| = \lim_{k\to\infty}\frac{\tfrac{k+1}{5^{\,k+1}}}{\tfrac{k}{5^{k}}} = \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{5\,k} = \frac{1}{5}.
Como L = \tfrac{1}{5} < 1, a série \sum_{k=1}^{\infty}\tfrac{k}{5^{k}} converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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