Use o teste da razão para a convergência absoluta (Teorema 9.6.5) para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{3^{k}}{k^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão em termos da convergência absoluta (Teorema 9.6.5) na série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{3^{k}}{k^{2}}.
Para isso, vamos tomar o termo de valor absoluto
a_{k}=\left|(-1)^{k+1}\frac{3^{k}}{k^{2}}\right|=\frac{3^{k}}{k^{2}}
e aplicar o teste da razão em \sum a_k.

Passo 2

O teste da razão diz para calcular
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}
e comparar com 1:
  • Se L<1, a série \sum a_k converge (logo converge absolutamente).
  • Se L>1, a série \sum a_k diverge (logo não converge absolutamente).
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos computar
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} =\frac{\frac{3^{\,k+1}}{(k+1)^{2}}}{\frac{3^{k}}{k^{2}}} =3\;\frac{k^{2}}{(k+1)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad L=\lim_{k\to\infty}3\frac{k^{2}}{(k+1)^{2}}=3.
Aqui L=3>1, portanto, pelo teste da razão, a série \sum a_k diverge.

Passo 4

Como \sum a_k diverge, a série original não converge absolutamente. Além disso, os termos \frac{3^k}{k^2} nem sequer tendem a zero, de modo que a própria série alternada também diverge.

Resposta

A série diverge (o teste da razão dá L=3>1, logo não há convergência absoluta nem condicional).

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