Use o método do Problema 34 para resolver a equação dada para t>0.
t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}+1,25 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, para t>0, a equação de Euler–Cauchy
t^{2}y''+3\,t\,y'+1,25\,y=0
O conteúdo é reconhecer que esse tipo de equação admite solução da forma y=t^{r} e usar a equação característica associada.

Passo 2

Supondo y=t^{r}, temos
y'=r\,t^{r-1}, \quad y''=r(r-1)\,t^{r-2}.
Substituindo na equação original:
t^{2}\bigl[r(r-1)t^{r-2}\bigr]+3t\bigl[r\,t^{r-1}\bigr]+1,25\,t^{r}=0
que simplifica para
\bigl[r(r-1)+3r+1,25\bigr]\,t^{r}=0.
Como t^{r}\neq0 para t>0, surge a equação característica
r(r-1)+3r+1,25=0.

Passo 3

Expandindo a característica:
r^{2}-r+3r+1,25=0 \;\Longrightarrow\; r^{2}+2r+1,25=0.
O discriminante é
\Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot1,25=4-5=-1,
logo as raízes são complexas:
r=\frac{-2\pm\sqrt{-1}}{2}=-1\pm\frac{i}{2}.

Passo 4

Quando as raízes são r=\alpha\pm i\beta com \alpha=-1 e \beta=\tfrac12, a solução geral real é
y(t)=t^{\alpha}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\beta\ln t\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\beta\ln t\bigr)\Bigr).

Passo 5

Substituindo \alpha=-1 e \beta=\tfrac12, obtemos
y(t) = t^{-1}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac12\ln t\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac12\ln t\bigr)\Bigr).

Resposta

y(t)=t^{-1}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac12\ln t\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac12\ln t\bigr)\Bigr), \quad t>0,
com C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

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