Use o método do Problema 34 para resolver a equação dada para t>0.
t^{2} y^{\prime \prime}+7 t y^{\prime}+10 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de Euler–Cauchy de segunda ordem em t>0:
t^{2}y''+7\,t\,y'+10\,y=0.
O conteúdo da matéria é a solução de equações de Euler usando a hipótese y=t^{m}.

Passo 2

Suponha uma solução da forma
y(t)=t^{m}.
Então suas derivadas são
y'(t)=m\,t^{m-1}, \quad y''(t)=m(m-1)\,t^{m-2}.

Passo 3

Substituindo em t^{2}y''+7\,t\,y'+10\,y=0 temos
t^{2}\bigl(m(m-1)t^{m-2}\bigr) +7\,t\bigl(m\,t^{m-1}\bigr) +10\,t^{m}=0,
que simplifica para a equação algébrica
m(m-1)+7m+10=0.

Passo 4

A equação característica fica
m^{2}+6m+10=0.
Resolvendo,
m=\frac{-6\pm\sqrt{36-40}}{2}=-3\pm i.

Passo 5

Como as raízes são complexas conjugadas \alpha=-3 e \beta=1, a solução geral é
y(t) =t^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln t)+C_{2}\sin(\beta\ln t)\bigr) =t^{-3}\bigl(C_{1}\cos(\ln t)+C_{2}\sin(\ln t)\bigr).

Resposta

y(t)=t^{-3}\bigl(C_{1}\cos(\ln t)+C_{2}\sin(\ln t)\bigr).

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