Se
é a série de potências de
em torno de
, determine
valor de
.
a) -1
a) -1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de $ a_3 $ na série de potências da função $ \frac{1+z}{1-z} $ em torno de $ z_0 = 0 $. Basicamente, estamos lidando com séries de potências, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de $ z $. Para resolver isso, vamos precisar expandir a função em uma série de potências e identificar o coeficiente de $ z^3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série geométrica é uma ferramenta muito útil para expandir funções na forma de séries de potências. A fórmula da série geométrica é:
Essa fórmula é válida para $ |z| < 1 $.
Passo 3
Agora, vamos observar que nossa função é $ \frac{1+z}{1-z} $. Podemos separar essa fração em duas partes:
Usando a série geométrica que vimos, podemos escrever cada termo como uma série de potências.
Passo 4
Aplicando a série geométrica para cada termo, temos:
e
Então, somando os dois resultados:
Passo 5
Agora, comparando com a série de potências geral $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n $, vemos que os coeficientes $ a_n $ são:
Resposta
O valor de $ a_3 $ é 2.