Se sumn=0^infty an z^n é a série de potências de 1+z1-z em torno de z0=0, determine o valor de a3.
a) -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de $ a_3 $ na série de potências da função $ \frac{1+z}{1-z} $ em torno de $ z_0 = 0 $. Basicamente, estamos lidando com séries de potências, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de $ z $. Para resolver isso, vamos precisar expandir a função em uma série de potências e identificar o coeficiente de $ z^3 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série geométrica é uma ferramenta muito útil para expandir funções na forma de séries de potências. A fórmula da série geométrica é:
11 - z = sumn=0^infty z^n
Essa fórmula é válida para $ |z| < 1 $.

Passo 3

Agora, vamos observar que nossa função é $ \frac{1+z}{1-z} $. Podemos separar essa fração em duas partes:
1+z1-z
Usando a série geométrica que vimos, podemos escrever cada termo como uma série de potências.

Passo 4

Aplicando a série geométrica para cada termo, temos:
11-z = sumn=0^infty z^n
e
z1-z = z cdot sumn=0^infty z^n = sumn=0^infty z^n+1 = sumn=1^infty z^n
Então, somando os dois resultados:
1+z1-z = sumn=0^infty z^n + sumn=1^infty z^n = 1 + 2z + 2z^2 + 2z^3 + dots

Passo 5

Agora, comparando com a série de potências geral $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n $, vemos que os coeficientes $ a_n $ são:
sumn=0^infty an z^n

Resposta

O valor de $ a_3 $ é 2.

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