1. sumn=0^infty (-1)^n x^2 n4^n+1,(-2,2)

Passo 1

O enunciado pede para somar a série de potências sumn=0^infty (-1)^n x^2 n4^n+1 no intervalo (-2,2). O conteúdo aqui é soma de série geométrica de razão r e vamos precisar reconhecer essa forma e aplicar condição de convergência.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 1/4 para reescrever a série numa forma geométrica padrão. Temos:
sumn=0^infty (-1)^n x^2 n4^n+1 = 14 sumn=0^infty (-1)^n x^2 n4^n = 14 sumn=0^infty l(-x^24r)^n

Passo 3

Uma série geométrica sumn=0^infty r^n converge se |r|<1. Aqui r = -x^2/4, logo a condição é
l|-x^24r| = x^24 < 1
que equivale a |x|<2, exatamente o intervalo dado.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da soma da série geométrica:
sumn=0^infty r^n = 11-r
Substituindo r = -x^2/4 na expressão fatorada, obtemos:
sumn=0^infty (-1)^n x^2 n4^n+1 = 14 cdot 11 - l(-x^24r) = 14 cdot 11 + x^24 = 14 + x^2

Resposta

14 + x^2

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