Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-1s(s-2)(s-3)(s-6)

Passo 1

O enunciado pede L^-1ls(s-2)(s-3)(s-6)r. O conteúdo é decomposição em frações parciais e uso do Teorema 7.2.1 (linearidade e L^-1tfrac1s-a=e^at). Vamos precisar escrever a função racional como soma de termos do tipo tfrac1s-a.

Passo 2

Propomos a decomposição
s(s-2)(s-3)(s-6) =As-2+Bs-3+Cs-6
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s-3)(s-6) obtemos
s = A,(s-3)(s-6) + B,(s-2)(s-6) + C,(s-2)(s-3)

Passo 3

Para encontrar A,B,C usamos o método das raízes:
  • Em s=2: 2 = A,(2-3)(2-6) = Acdot(-1)cdot(-4)=4A ;Longrightarrow;A=tfrac12
  • Em s=3: 3 = B,(3-2)(3-6) = Bcdot1cdot(-3)=-3B ;Longrightarrow;B=-1
  • Em s=6: 6 = C,(6-2)(6-3) = Ccdot4cdot3=12C ;Longrightarrow;C=tfrac12

Passo 4

Substituindo A,B,C na decomposição, temos
s(s-2)(s-3)(s-6) =tfrac12s-2 ;-;1s-3 ;+;tfrac12s-6
Aplicando a transformada inversa termo a termo pelo Teorema 7.2.1,
L^-1ltfrac1s-ar=e^at,
chegamos a
f(t) =tfrac12,e^2t ;-;e^3t ;+;tfrac12,e^6t

Resposta

L^-1ltfracs(s-2)(s-3)(s-6)r =tfrac12,e^2t-e^3t+tfrac12,e^6t

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