As superfícies dadas abaixo estão representadas por suas equações cartesianas. Passe as equações para coordenadas cilíndricas e esféricas.
Cone: x^2+y^2-4 z^2=0

Passo 1

O enunciado dá o cone duplo de equação cartesiana
x^2+y^2-4z^2=0,
e pede para reescrevê-lo em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e esféricas (rho,theta,varphi). Vamos usar as transformações padrão:
,x=rcostheta, ,y=rsintheta, ,z=z e
,x=rhosinvarphicostheta, ,y=rhosinvarphisintheta, ,z=rhocosvarphi.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos ,x^2+y^2=r^2. Substituindo na equação original:
r^2-4z^2=0
Dessa forma
r^2=4z^2 Longrightarrow r=2lvert zrvert Longrightarrow z=pmdfracr2

Passo 3

Em coordenadas esféricas usamos
,x^2+y^2=rho^2sin^2varphi e ,z^2=rho^2cos^2varphi.
Substituindo:
rho^2l(sin^2varphi-4cos^2varphir)=0
Para rhoneq0 vem
sin^2varphi=4cos^2varphi Longrightarrow tan^2varphi=4 Longrightarrow tanvarphi=2,
isto é,
varphi=arctan(2) (cone superior) e varphi=pi-arctan(2) (cone inferior).

Resposta

Cilíndricas: ,r^2-4z^2=0 ou r=2lvert zrvert
Esféricas: ,tan^2varphi=4 ou varphi=arctan(2) e varphi=pi-arctan(2)

Exercícios relacionados