As superfícies dadas abaixo estão representadas por suas equações cartesianas. Passe as equações para coordenadas cilíndricas e esféricas.
Hiperbolóide: x^2+y^2-z^2=1

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação do hiperbolóide
x^2+y^2-z^2=1
para coordenadas cilíndricas e esféricas.
Conteúdo: usar as transformações
– cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
– esféricas:
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas substituímos
x^2+y^2=r^2
e z=z. Assim a equação fica
r^2-z^2=1

Passo 3

Em coordenadas esféricas substituímos
x^2+y^2 = rho^2sin^2varphi, z^2 = rho^2cos^2varphi
Logo
x^2+y^2-z^2 = rho^2sin^2varphi - rho^2cos^2varphi = rho^2l(sin^2varphi - cos^2varphir)
A condição x^2+y^2-z^2=1 vira
rho^2l(sin^2varphi - cos^2varphir) = 1
Opcionalmente, isolamos rho:
rho = 1raizsin^2varphi - cos^2varphi

Resposta

Coordenadas cilíndricas:
r^2 - z^2 = 1
Coordenadas esféricas:
rho^2l(sin^2varphi - cos^2varphir) = 1 ou rho = 1raizsin^2varphi - cos^2varphi

Exercícios relacionados