Supondo que durante o abate de suínos, em um determinado frigorífico, o número de suínos descartados pelo Serviço de Inspeção Federal seja uma v.a. com média de 90 animais por mês ( 30 dias). Pergunta-se, qual a probabilidade de serem descartados:
pelo menos 2 suínos por dia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte.
  • Informação: a média de suínos descartados pelo Serviço de Inspeção Federal é de \,90\, animais por mês (mês com \,30\, dias).
  • Informação implícita: queremos a probabilidade em um dia qualquer.
  • Pergunta: qual a probabilidade de serem descartados pelo menos \,2\, suínos em um dia? Ou seja, queremos \,P(X\ge 2) para a contagem diária X.

Passo 2

Por que podemos modelar isso com a distribuição de Poisson? (aula rápida e intuitiva)
  • A distribuição de Poisson é indicada para contar o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo quando:
    1. Há uma taxa média constante de ocorrências por unidade de tempo.
    2. As ocorrências são raras e independentes entre si no pequeno intervalo.
    3. Só importa o número inteiro de ocorrências no intervalo (0,1,2,…).
  • Aqui temos uma taxa média por mês conhecida que podemos converter para uma média por dia; parece razoável assumir que, em dias distintos, o número descartado se comporta como contagens independentes com taxa constante.
  • Definição e fórmula da Poisson: se X segue Poisson com parâmetro \lambda (média por intervalo), então
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde k\in\{0,1,2,\dots\}, \lambda é a média esperada no intervalo considerado, e é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Calcular a média diária ( \lambda por dia).
  • A média mensal é \,90\, suínos por 30 dias. Então a média por dia é
\lambda_{\text{dia}}=\frac{90}{30}=3.
  • Portanto, para um dia, podemos usar X\sim Poisson (\lambda=3).

Passo 4

Expressar o que queremos em termos da Poisson e simplificar a estratégia de cálculo.
  • Queremos
P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)\big).
  • Isso é útil porque calcular P(X=0) e P(X=1) com a fórmula da Poisson é simples.

Passo 5

Calcular P(X=0) e P(X=1) usando a fórmula da Poisson com \lambda=3.
  • Para k=0:
P(X=0)=e^{-3}\frac{3^{0}}{0!}=e^{-3}.
  • Para k=1:
P(X=1)=e^{-3}\frac{3^{1}}{1!}=3e^{-3}.

Passo 6

Somar e subtrair para obter P(X\ge 2) em forma exata.
P(X\ge 2)=1-\big(e^{-3}+3e^{-3}\big)=1-4e^{-3}.

Passo 7

Fazer a aproximação numérica (passo a passo, sem pular etapas).
  • Primeiro, e^{3}\approx 20{,}085537 (usar e\approx 2{,}7182818 e elevar ao cubo).
  • Assim e^{-3}=\dfrac{1}{e^{3}}\approx 0{,}04978707.
  • Multiplicando por 4: 4e^{-3}\approx 4\cdot 0{,}04978707\approx 0{,}19914828.
  • Logo
P(X\ge 2)=1-4e^{-3}\approx 1-0{,}19914828\approx 0{,}80085172.

Passo 8

Interpretação rápida e encorajamento
  • Resultado final: aproximadamente 0{,}80085, ou seja, cerca de 80{,}085\% de chance de que num dia haja pelo menos 2 suínos descartados.
  • Intuição: com média 3 por dia, é bastante provável ter pelo menos 2 (por isso a probabilidade é alta). Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a maneira que realmente ajuda na prova!

Resposta

1-4e^{-3}\approx 0,80085172

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