Supondo que durante o abate de suínos, em um determinado frigorífico, o número de suínos descartados pelo Serviço de Inspeção Federal seja uma v.a. com média de 90 animais por mês ( 30 dias). Pergunta-se, qual a probabilidade de serem descartados:
pelo menos 2 suínos por dia?
pelo menos 2 suínos por dia?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte.
- Informação: a média de suínos descartados pelo Serviço de Inspeção Federal é de
animais por mês (mês com dias). - Informação implícita: queremos a probabilidade em um dia qualquer.
- Pergunta: qual a probabilidade de serem descartados pelo menos
suínos em um dia? Ou seja, queremos para a contagem diária .
Passo 2
Por que podemos modelar isso com a distribuição de Poisson? (aula rápida e intuitiva)
- A distribuição de Poisson é indicada para contar o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo quando:
- Há uma taxa média constante de ocorrências por unidade de tempo.
- As ocorrências são raras e independentes entre si no pequeno intervalo.
- Só importa o número inteiro de ocorrências no intervalo (0,1,2,…).
- Aqui temos uma taxa média por mês conhecida que podemos converter para uma média por dia; parece razoável assumir que, em dias distintos, o número descartado se comporta como contagens independentes com taxa constante.
- Definição e fórmula da Poisson: se
segue Poisson com parâmetro (média por intervalo), então
onde
,
é a média esperada no intervalo considerado,
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Calcular a média diária (
por dia).
- A média mensal é
suínos por dias. Então a média por dia é
- Portanto, para um dia, podemos usar
Poisson .
Passo 4
Expressar o que queremos em termos da Poisson e simplificar a estratégia de cálculo.
- Queremos
- Isso é útil porque calcular
e com a fórmula da Poisson é simples.
Passo 5
Calcular
e
usando a fórmula da Poisson com
.
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Somar e subtrair para obter
em forma exata.
Passo 7
Fazer a aproximação numérica (passo a passo, sem pular etapas).
- Primeiro,
(usar e elevar ao cubo). - Assim
. - Multiplicando por
: . - Logo
Passo 8
Interpretação rápida e encorajamento
- Resultado final: aproximadamente
, ou seja, cerca de de chance de que num dia haja pelo menos suínos descartados. - Intuição: com média
por dia, é bastante provável ter pelo menos (por isso a probabilidade é alta). Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a maneira que realmente ajuda na prova!