Supondo que exista uma solução, encontre uma família de soluções para cada equação diferencial.
y \sqrt{1+x^{2}} y^{\prime}(x)=x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,\sqrt{1+x^{2}}\;\frac{dy}{dx}=x
que é separável. Vamos separar variáveis e integrar para obter a família geral de soluções.

Passo 2

Para separar variáveis, escrevemos
y\,\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
e reorganizamos como
y\,dy=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
No lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No lado direito, fazemos u=1+x^{2}, du=2x\,dx, logo
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \frac12\int u^{-\tfrac12}\,du = \sqrt{u} = \sqrt{1+x^{2}}.
Assim,
\frac{y^{2}}{2} = \sqrt{1+x^{2}} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por 2 e isolando y, obtemos
y^{2} = 2\,\sqrt{1+x^{2}} + C_{1},
onde C_{1}=2C é constante arbitrária. Portanto,
y(x)=\pm\sqrt{2\,\sqrt{1+x^{2}}+C_{1}}.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{2\,\sqrt{1+x^{2}}+C_{1}},
com C_{1} constante arbitrária.

Exercícios relacionados