Supondo que exista uma solução, encontre uma família de soluções para cada equação diferencial.
(x+1) y^{\prime}(x)+y^{2}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+1)\,y'(x) + y(x)^{2} = 0
Trata-se de uma equação separável, pois podemos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável, dividimos por (x+1) (pressupondo x\neq -1) e por y^{2} (pressupondo y\neq0):
y'(x) = -\frac{y(x)^{2}}{x+1}
\frac{y'(x)}{y(x)^{2}} = -\frac{1}{x+1}
Como y'(x)\,dx = dy, obtemos
\frac{dy}{y^{2}} = -\,\frac{dx}{x+1}.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{y^{2}} = - \int \frac{dx}{x+1}.
No lado esquerdo, \displaystyle\int y^{-2}dy = -\,\frac{1}{y}. No direito, \displaystyle\int (x+1)^{-1}dx = \ln\bigl|x+1\bigr|. Logo
-\,\frac{1}{y} = -\,\ln\bigl|x+1\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por -1 e reorganizando, temos
\frac{1}{y} = \ln\bigl|x+1\bigr| - C.
Definindo C_{1} = -\,C, obtemos a forma mais usual:
\frac{1}{y} = \ln\bigl|x+1\bigr| + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{1}{\ln\bigl|x+1\bigr| + C_{1}}.

Passo 5

É preciso lembrar da solução trivial y(x)=0, que também satisfaz (x+1)\,y'+y^{2}=0.

Resposta

A família geral de soluções é
y(x) = \frac{1}{\ln\bigl|x+1\bigr| + C},\quad C\in\mathbb{R},
além da solução trivial
y(x)=0.

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