Supondo 1 <= f(x) <= x^2-2 x+2 para todo x, calcule lim x 1 f(x);

Passo 1

Estamos com uma função f satisfazendo para todo x a desigualdade 1 ≤ f(x) ≤ x² − 2x + 2. O conteúdo aqui é limite de funções e vamos usar o teorema do confronto (também chamado de teorema do sanduíche). Precisamos calcular os limites das duas funções-limite inferior e superior quando x → 1.

Passo 2

O limite da função constante que dá o limite inferior é imediato. Temos limₓ→1 1 = 1.

Passo 3

Para o limite da função limite superior, observe que podemos reescrever
x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1
Em bloco para ficar claro:
[(x − 1)² + 1]
Como (x − 1)² → 0 quando x → 1, esse termo some, e portanto limₓ→1 [x² − 2x + 2] = 1.

Passo 4

Agora, pelo teorema do confronto, f(x) está sempre entre duas funções que têm limite 1 em x → 1. Logo, limₓ→1 f(x) existe e é igual a 1.

Resposta

1

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