Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi\) - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas : \(f(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in[-\pi, 0] \\\ x, & \text { se } x \in[0, \pi] ;\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função 2\pi-periódica definida por:
f(x)= \begin{cases} 1,&x\in[-\pi,0],\\\ x,&x\in[0,\pi]. \end{cases}
Vamos calcular sua série de Fourier usando as fórmulas gerais para os coeficientes:
a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx,\quad a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Cálculo de a_0. Separamos a integral em dois trechos:
\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx =\int_{-\pi}^0 1\,dx+\int_0^\pi x\,dx =\pi+\frac{\pi^2}{2}.
Logo
a_0=\frac1\pi\Bigl(\pi+\frac{\pi^2}{2}\Bigr) =1+\frac\pi2, \quad \frac{a_0}{2}=\frac12+\frac\pi4.

Passo 3

Cálculo de a_n. Escrevemos
\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx =\int_{-\pi}^0\cos(nx)\,dx+\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx.
A primeira integral é
\int_{-\pi}^0\cos(nx)\,dx =\frac{\sin(nx)}n\Big|_{-\pi}^0 =0.
Na segunda, por partes ( u=x, dv=\cos(nx)dx):
\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx =\Bigl[\frac{x\sin(nx)}n+\frac{\cos(nx)}{n^2}\Bigr]_0^\pi =\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
Assim
a_n=\frac1\pi\frac{(-1)^n-1}{n^2}.

Passo 4

Cálculo de b_n. Dividimos:
\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx =\int_{-\pi}^0\sin(nx)\,dx+\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx.
A primeira integral é
\int_{-\pi}^0\sin(nx)\,dx =-\frac{\cos(nx)}n\Big|_{-\pi}^0 =\frac{-1+(-1)^n}{n}.
Na segunda, por partes ( u=x, dv=\sin(nx)dx):
\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx =-\frac{x\cos(nx)}n+\frac{\sin(nx)}{n^2}\Big|_0^\pi =\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}.
Logo
b_n =\frac1\pi\Bigl(\frac{-1+(-1)^n}{n}+\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}\Bigr) =\frac{(-1)^n-1}{\pi\,n}+\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 5

Montamos a série de Fourier no formato padrão:
f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
substituindo os coeficientes encontrados acima.

Resposta

f(x) =\frac12+\frac\pi4 +\sum_{n=1}^\infty \Bigl( \frac{(-1)^n-1}{\pi\,n^2}\cos(nx) +\Bigl(\frac{(-1)^n-1}{\pi\,n}+\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Bigr)\sin(nx) \Bigr).

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