Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
Determine os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar em quais intervalos de tempo dá para calcular a posição exata de um objeto cujo movimento é descrito pela função vetorial
Vamos usar conceitos de funções e suas definições para achar esses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial:
. Para essa fração existir, o denominador não pode ser zero, ou seja,
. Então, já sabemos que
não pode ser zero.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero para termos um número real. Então, temos:
Resolvendo essa inequação:
Portanto,
deve ser menor ou igual a
ou maior ou igual a
.
Passo 4
A última componente é
. A função arco-tangente está bem definida para todo valor real de
, então não impõe restrições adicionais.
Passo 5
Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
-
(pela primeira componente). -
ou (pela segunda componente).
Observando que
não está incluído nos intervalos
ou
, não há conflito. Assim, os intervalos válidos são aqueles onde
é menor ou igual a
ou maior ou igual a
.
Resposta
Os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto são: