Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
r(t)=(2t, raizt^2-4, arctan t)
Determine os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar em quais intervalos de tempo dá para calcular a posição exata de um objeto cujo movimento é descrito pela função vetorial
r(t) = (2t, raizt^2-4, arctan t)
Vamos usar conceitos de funções e suas definições para achar esses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial: 2t. Para essa fração existir, o denominador não pode ser zero, ou seja, t neq 0. Então, já sabemos que t não pode ser zero.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: raizt^2-4. O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero para termos um número real. Então, temos:
t^2 - 4 >= 0
Resolvendo essa inequação:
t^2 >= 4 Rightarrow t <= -2 ou t >= 2
Portanto, t deve ser menor ou igual a -2 ou maior ou igual a 2.

Passo 4

A última componente é arctan t. A função arco-tangente está bem definida para todo valor real de t, então não impõe restrições adicionais.

Passo 5

Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
  1. t neq 0 (pela primeira componente).
  2. t <= -2 ou t >= 2 (pela segunda componente).
Observando que t = 0 não está incluído nos intervalos t <= -2 ou t >= 2, não há conflito. Assim, os intervalos válidos são aqueles onde t é menor ou igual a -2 ou maior ou igual a 2.

Resposta

Os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto são:
t in (-infty, -2] cup [2, +infty)

Exercícios relacionados