Supondo que
é um ponto de máximo local de
onde a derivada
existe, resolva os itens abaixo.
Repetindo o argumento, verifique que a derivada lateral à esquerda satisfaz
Repetindo o argumento, verifique que a derivada lateral à esquerda satisfaz
Passo 1
O problema afirma que temos um ponto de máximo local em x = x₀, ou seja, existe um intervalo em volta de x₀ onde f(x) ≤ f(x₀). Além disso, sabemos que a derivada f′(x₀) existe. Queremos mostrar que a derivada lateral à esquerda satisfaz f₋′(x₀) ≥ 0.
Passo 2
Pela definição de máximo local, existe um intervalo (a,b) com a < x₀ < b tal que para todo x em (a,b) vale f(x) ≤ f(x₀). Isso é a definição básica de ponto de máximo local.
Passo 3
Agora, considere valores de x que vêm da esquerda, ou seja, x < x₀ mas bem próximos de x₀. Nesse caso temos f(x) - f(x₀) ≤ 0 e x - x₀ < 0. Como estamos dividindo um número não positivo por um número negativo, a razão satisfaz
Passo 4
Por fim, aplicando a definição de derivada lateral à esquerda,
e sabendo que cada razão intermediária é ≥ 0, concluímos que f₋′(x₀) ≥ 0.