Supondo que x=x0 é um ponto de máximo local de f onde a derivada f^prime(x0) existe, resolva os itens abaixo.
Repetindo o argumento, verifique que a derivada lateral à esquerda satisfaz
f-^prime(x0)=lim x x0^- f(x)-f(x0)x-x0 >= 0

Passo 1

O problema afirma que temos um ponto de máximo local em x = x₀, ou seja, existe um intervalo em volta de x₀ onde f(x) ≤ f(x₀). Além disso, sabemos que a derivada f′(x₀) existe. Queremos mostrar que a derivada lateral à esquerda satisfaz f₋′(x₀) ≥ 0.

Passo 2

Pela definição de máximo local, existe um intervalo (a,b) com a < x₀ < b tal que para todo x em (a,b) vale f(x) ≤ f(x₀). Isso é a definição básica de ponto de máximo local.

Passo 3

Agora, considere valores de x que vêm da esquerda, ou seja, x < x₀ mas bem próximos de x₀. Nesse caso temos f(x) - f(x₀) ≤ 0 e x - x₀ < 0. Como estamos dividindo um número não positivo por um número negativo, a razão satisfaz
f(x)-f(x₀)x-x₀ >= 0

Passo 4

Por fim, aplicando a definição de derivada lateral à esquerda,
f-^prime(x₀)=limxto x₀^-f(x)-f(x₀)x-x₀,
e sabendo que cada razão intermediária é ≥ 0, concluímos que f₋′(x₀) ≥ 0.

Resposta

f-^prime(x₀) >= 0

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