Suponha
$$
a_{n}
 
b_{n}
 
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
 
a_{n} \geq b_{n}
 
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
 
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
 
a_{n} \leq b_{n}
 
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
 
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
 
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
 
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
 
a_{n} \geq b_{n}
 
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
$$
também será divergente.
também será divergente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries com termos positivos, 
  e 
 , e queremos saber qual das afirmações sobre a convergência dessas séries é verdadeira. O conteúdo principal aqui é sobre Testes de Convergência de Séries, especificamente o Teste de Comparação. Para resolver, vamos precisar comparar os termos das duas séries e aplicar as regras desse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste de Comparação para séries:
- 
Teste de Comparação Direta: Se temos duas séries
e com termos positivos, e para todo , : - Se 
converge, então também converge.  - Se 
diverge, então também diverge.  
 - Se 
 - 
Teste de Comparação Limitada: Se o limite de
quando tende ao infinito é um número positivo e finito, então as duas séries ou convergem ou divergem juntas.  
Passo 3
Vamos analisar cada opção usando o Teste de Comparação Direta:
Opção a:
“Se  for convergente e 
  para todo 
 , então 
  também será convergente.”
“Se
Aqui, temos 
 . Pela regra do teste de comparação, se a série maior (
 ) converge, a série menor (
 ) também converge. Então, essa afirmação está correta.
Opção b:
“Se  for convergente e 
  para todo 
 , então 
  também será convergente.”
“Se
Esta afirmação está incorreta. Se 
  e 
  converge, não podemos concluir que 
  também converge. Pode ser que 
  diverja.
Opção c:
“Se  e 
  convergem, então elas são condicionalmente convergentes.”
“Se
Esta afirmação está incorreta. Duas séries convergirem não implica necessariamente que sejam condicionalmente convergentes. Condicionalmente convergente significa que a série converge, mas não absolutamente. Ambas podem convergir absolutamente ou uma pode convergir absolutamente e a outra condicionalmente.
Opção d:
“Se  diverge e 
  para todo 
 , então 
  também será divergente.”
“Se
Esta afirmação está incorreta. Se 
  e 
  diverge, a série 
  pode tanto convergir quanto divergir. O teste de comparação direta não nos dá informação suficiente nesse caso.
Resposta
A opção correta é a a.