Suponha que 8 \% das árvores de uma plantação de laranjas estejam contaminadas por uma doença que provoca uma quebra significativa na produção. Considere uma amostra aleatória de 500 árvores:
a) Qual é a probabilidade de que exatamente 10 \% delas estejam com a doença?
b) Qual é o número esperado de árvores doentes na amostra de 500 ?
(Dica: use a aproximação pela Poisson.)

Passo 1

O enunciado diz que cada árvore tem probabilidade p=0,08 de estar doente e que extraímos n=500 árvores de forma aleatória. Como n é grande e p é relativamente pequeno, vamos aproximar a distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p) por uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda = n p.

Passo 2

Para usar a aproximação de Poisson, calculamos
\lambda = n p = 500 \times 0,08 = 40.
Então a variável aleatória X, número de árvores doentes, é aproximada por
X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda=40).

Passo 3

a) Queremos a probabilidade de exatamente 10\% das 500 árvores, ou seja X=50. Pela Poisson:
P(X=50) \approx e^{-40}\,\frac{40^{50}}{50!}.

Passo 4

b) O valor esperado de X na distribuição binomial é E[X]=n p. Na Poisson, também vale E[X]=\lambda. Assim,
E[X] = \lambda = 40.

Resposta

(a) P(X=50)\approx e^{-40}\,\dfrac{40^{50}}{50!}.
(b) E[X]=40.

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