Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes lotes. Os copos são embrulhados individualmente. Periodicamente o varejista inspeciona os lotes para determinar a proporção de copos com defeitos (quebrados ou lascados). Se um grande lote contém 10 \% de copos com defeitos, qual a probabilidade do varejista obter, numa amostra de 100 copos, 17 \% ou mais defeituosos?

Passo 1

O enunciado diz que num grande lote a proporção verdadeira de copos defeituosos é 10\%. Queremos a probabilidade de, numa amostra de 100 copos, ocorrerem 17\% ou mais defeituosos. O conteúdo aqui é distribuição binomial e sua aproximação normal para n grande.

Passo 2

Definimos a variável aleatória
X \sim \mathrm{Binomial}(n=100,\;p=0,10),
onde X é o número de copos defeituosos na amostra de 100.
Como n é grande e p não é muito próximo de 0 ou 1, podemos usar a aproximação normal:
- Esperança \mu = np = 100\cdot0,10 = 10.
- Variância \sigma^2 = np(1-p) = 100\cdot0,10\cdot0,90 = 9.
- Desvio padrão \sigma = 3.

Passo 3

Para calcular \Pr(X \ge 17) usamos correção de continuidade:
\Pr(X \ge 17) \approx \Pr\bigl(X_{\mathrm{N}}\ge 16,5\bigr),
onde X_{\mathrm{N}}\sim N(\mu=10,\sigma=3).
O escore padrão é
Z = \frac{16,5 - 10}{3} = \frac{6,5}{3} \approx 2,17.
Buscamos na tabela da normal padrão: \Phi(2,17)\approx 0,9849.
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\Pr(X\ge17)\approx 1 - \Phi(2,17) = 1 - 0,9849 = 0,0151.

Passo 4

Portanto, a probabilidade de obter 17\% ou mais defeituosos em 100 copos é aproximadamente 0,015.

Resposta

0{,}015 (aproximadamente)

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