Suponha que uma caixa contém
bolas numeradas de 1 a
. Seleciona-se sem reposição uma amostra aleatória de tamanho n. Seja
o maior número observado na mostra e Z o menor.
a. Determine a probabilidade
.
b. Determine a probabilidade
.
a. Determine a probabilidade
b. Determine a probabilidade
Passo 1
Temos uma caixa com r bolas numeradas de 1 a r, extraímos sem reposição uma amostra de tamanho n, e definimos Y=máximo e Z=mínimo da amostra. O conteúdo aqui é ordem estatística em amostragem sem reposição e vamos usar contagem de combinações para determinar probabilidades.
Passo 2
Para achar P(Y≤y), note que isso só ocorre se todas as n bolas extraídas tiverem número ≤y. O total de amostras possíveis é
e o número de amostras todas em {1,…,y} é
. Então
Passo 3
Para achar P(Z≥z), note que isso só ocorre se todas as n bolas extraídas tiverem número ≥z. O total de amostras possíveis continua sendo
e o número de amostras todas em {z,…,r} é
. Então
Resposta
P(Y\le y)=\n{\binom{y}{n}}{\binom{r}{n}} e P(Z\ge z)=\n{\binom{r - z + 1}{n}}{\binom{r}{n}}