Suponha que uma caixa contém r bolas numeradas de 1 a r. Seleciona-se sem reposição uma amostra aleatória de tamanho n. Seja Y o maior número observado na mostra e Z o menor.
a. Determine a probabilidade P(Y <= y).
b. Determine a probabilidade P(Z >= z).

Passo 1

Temos uma caixa com r bolas numeradas de 1 a r, extraímos sem reposição uma amostra de tamanho n, e definimos Y=máximo e Z=mínimo da amostra. O conteúdo aqui é ordem estatística em amostragem sem reposição e vamos usar contagem de combinações para determinar probabilidades.

Passo 2

Para achar P(Y≤y), note que isso só ocorre se todas as n bolas extraídas tiverem número ≤y. O total de amostras possíveis é binomrn e o número de amostras todas em {1,…,y} é binomyn. Então
P(Y<= y)=binomynbinomrn

Passo 3

Para achar P(Z≥z), note que isso só ocorre se todas as n bolas extraídas tiverem número ≥z. O total de amostras possíveis continua sendo binomrn e o número de amostras todas em {z,…,r} é binomr-z+1n. Então
P(Z>= z)=binomr - z + 1nbinomrn

Resposta

P(Y\le y)=\n{\binom{y}{n}}{\binom{r}{n}} e P(Z\ge z)=\n{\binom{r - z + 1}{n}}{\binom{r}{n}}

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