Suponha que eu tenha 20 cartas, numeradas de 1 a 5 , sendo quatro cartas com cada número. Qual a probabilidade que se 10 dessas cartas forem escolhidas ao acaso eu vou escolher duas cartas com cada número?

Passo 1

O enunciado diz que temos 20 cartas, numeradas de 1 a 5, sendo que há exatamente 4 cartas de cada número. Escolhemos 10 cartas ao acaso e queremos a probabilidade de sair exatamente 2 cartas de cada número. O conteúdo envolvido é probabilidade combinatória (modelo hipergeométrico), onde precisamos contar o número total de maneiras de escolher 10 cartas e o número de maneiras favoráveis (duas de cada número).

Passo 2

Calcular o número total de maneiras de escolher 10 cartas dentre as 20. Pelas combinações, isso é
\binom{20}{10}\,.

Passo 3

Calcular o número de maneiras de escolher exatamente 2 cartas de cada um dos 5 números. Para cada número há 4 cartas e queremos escolher 2, o que dá \binom{4}{2} possibilidades por número. Como são 5 números independentes, multiplicamos:
\underbrace{\binom{4}{2}\times\binom{4}{2}\times\cdots\times\binom{4}{2}}_{5\text{ vezes}} =\binom{4}{2}^{5}\,.

Passo 4

A probabilidade pedida é a razão entre os casos favoráveis e os casos totais:
P =\frac{\binom{4}{2}^{5}}{\binom{20}{10}}.

Passo 5

Podemos simplificar numericamente: \binom{4}{2}=6, logo o numerador é 6^{5}=7776, e \binom{20}{10}=184756. Assim,
P=\frac{7776}{184756}\approx0{,}0421\quad(\text{aprox. }4{,}21\%).

Resposta

P=\frac{\binom{4}{2}^{5}}{\binom{20}{10}} =\frac{7776}{184756}\approx0{,}0421.

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