Suponha que
det([lll a & b & c d & e & f g & h & i ])=3
Calcule o determinante das seguintes matrizes
det([lll -d & -e & -f -a & -b & -c -g & -h & -i ])

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = a & b & c d & e & f g & h & i
com det(M)=3 e pede det(N) onde
N = -,d & -,e & -,f -,a & -,b & -,c -,g & -,h & -,i
O conteúdo aqui são as propriedades de determinante: fator em cada linha e troca de linhas.

Passo 2

Perceba que em N cada linha vem de uma linha de M possivelmente trocada e com sinal invertido. Especificamente:
linha1(N) = -,linha2(M), linha2(N) = -,linha1(M), linha3(N) = -,linha3(M)

Passo 3

Ao fatorar -1 de cada uma das três linhas de N, usamos que extrair um escalar de uma linha multiplica o determinante por esse escalar. Logo
det(N) = (-1)^3 ,det! d & e & f a & b & c g & h & i = -,det! d & e & f a & b & c g & h & i

Passo 4

A matriz no determinante acima é obtida de M simplesmente trocando a linha 1 com a linha 2. Sabemos que uma troca de linhas muda o sinal do determinante, portanto
det! d & e & f a & b & c g & h & i = -,det(M) = -cdot 3 = -3

Passo 5

Substituindo na expressão do passo anterior:
det(N) = -l(-3r) = 3

Resposta

3

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