Uma urna contém três bolas pretas e duas bolas vermelhas. Realizam-se três extrações sem reposição. Sejam X o número de bolas pretas obtidas e Y o número de bolas vermelhas extraídas antes da primeira bola preta.
a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y ;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 3 bolas pretas e 2 bolas vermelhas. Vamos tirar 3 bolas, uma de cada vez, sem colocar de volta nenhuma bola (sem reposição). Queremos descobrir duas coisas:
  • X: o número de bolas pretas que conseguimos tirar.
  • Y: o número de bolas vermelhas que tiramos antes de tirar a primeira bolinha preta.
Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y, ou seja, as probabilidades de cada combinação possível desses dois valores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que X e Y podem assumir.
  • X pode variar de 0 a 3, já que temos 3 bolas pretas na urna e vamos tirar 3 bolas.
  • Y depende de quando a primeira bola preta é tirada. Ele pode ser 0 (se a primeira bola tirada for preta), 1 (se a primeira for vermelha e a segunda preta), ou 2 (se as duas primeiras forem vermelhas e a terceira preta).

Passo 3

Agora, vamos listar todas as combinações possíveis de X e Y e calcular a probabilidade de cada uma. Para isso, vamos analisar as sequências de extração que levam a cada combinação.
  1. Y = 0: A primeira bola é preta.
    • X = 1: Só a primeira bola é preta.
    • X = 2: A primeira é preta e uma das próximas duas também.
    • X = 3: Todas as três bolas são pretas.
  2. Y = 1: A primeira bola é vermelha e a segunda é preta.
    • X = 1: Só a segunda bola é preta.
    • X = 2: A segunda é preta e uma das próximas duas também.
    • X = 3: A segunda bola é preta e as outras duas também são pretas.
  3. Y = 2: As duas primeiras bolas são vermelhas e a terceira é preta.
    • X = 1: Só a terceira bola é preta.
    • X = 2: A terceira bola é preta e uma das anteriores são pretas, mas como já temos duas vermelhas, isso não é possível.
    • X = 3: Todas as três bolas são pretas, o que também não é possível aqui.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de cada combinação. Para isso, usamos a fórmula de probabilidade sem reposição:
P(Evento) = Número de casos favoráveisNúmero total de casos úáú
O número total de maneiras de tirar 3 bolas de 5 é dado por combinações:
C(5,3) = 10
Agora, vamos calcular cada caso:
  • Y = 0, X = 1: Primeiro preta, depois duas vermelhas.
    P = 35 times 24 times 13 = 660 = 110
  • Y = 0, X = 2: Primeiro preta, uma preta e uma vermelha nas próximas.
    P = 35 times 24 times 23 = 1260 = 15
  • Y = 0, X = 3: Todas pretas.
    P = 35 times 24 times 13 = 660 = 110
  • Y = 1, X = 1: Primeiro vermelha, segunda preta, terceira vermelha.
    P = 25 times 34 times 13 = 660 = 110
  • Y = 1, X = 2: Primeiro vermelha, segunda preta, terceira preta.
    P = 25 times 34 times 23 = 1260 = 15
  • Y = 1, X = 3: Não é possível, já que só temos 3 pretas e uma vermelha tirada primeiro.
  • Y = 2, X = 1: Primeiro e segundo vermelhos, terceira preta.
    P = 25 times 14 times 33 = 660 = 110
  • Y = 2, X = 2 e Y = 2, X = 3: Não são possíveis pelos motivos mencionados.

Resposta

A distribuição de probabilidade conjunta de X e Y é a seguinte:
Y \ X 1 2 3
0 1/10 1/5 1/10
1 1/10 1/5 0
2 1/10 0 0
Isso significa, por exemplo, que a probabilidade de tirar 2 bolas pretas e que a primeira bola preta seja na segunda extração (X = 2, Y = 1) é de 1/5.

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