Suponha que 2 cartas sejam retiradas, uma após a outra, sem reposição, de um baralho completo ( 52 cartas). Seja X o número de valetes obtido e Y o número de damas.
b) Encontre a distribuição de probabilidade marginal de X e a de Y ;
b) Encontre a distribuição de probabilidade marginal de X e a de Y ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado diz que tiramos 2 cartas de um baralho de 52 cartas, uma depois da outra, sem colocar de volta. Queremos descobrir a distribuição de probabilidade marginal de $ X $ (número de valetes obtidos) e de $ Y $ (número de damas obtidas).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade marginal e combinatória básica (como calcular combinações). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a distribuição de probabilidade marginal de $ X $, ou seja, a probabilidade de obter 0, 1 ou 2 valetes nas duas cartas tiradas.
Sabemos que em um baralho padrão há 4 valetes. Vamos calcular cada caso:
- $ X = 0 $: Nenhum valete é tirado.
- $ X = 1 $: Um valete é tirado.
- $ X = 2 $: Dois valetes são tirados.
Passo 3
Vamos calcular cada probabilidade para $ X $:
-
$ P(X = 0) $:
- A primeira carta não é um valete: $ \frac{52 - 4}{52} = \frac{48}{52} $.
- A segunda carta também não é um valete: $ \frac{47}{51} $.
- Então, $ P(X = 0) = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} = \frac{2256}{2652} \approx 0,8505 $.
-
$ P(X = 1) $:
- Pode acontecer de tirar um valete na primeira carta e não na segunda, ou vice-versa.
- Primeiro caso:
- Primeira carta é um valete: $ \frac{4}{52} $.
- Segunda não é valete: $ \frac{48}{51} $.
- Probabilidade: $ \frac{4}{52} \times \frac{48}{51} $.
- Segundo caso:
- Primeira carta não é valete: $ \frac{48}{52} $.
- Segunda é valete: $ \frac{4}{51} $.
- Probabilidade: $ \frac{48}{52} \times \frac{4}{51} $.
- Então, $ P(X = 1) = 2 \times \frac{4}{52} \times \frac{48}{51} = \frac{384}{2652} \approx 0,1448 $.
-
$ P(X = 2) $:
- Ambas as cartas são valetes.
- Primeira carta é valete: $ \frac{4}{52} $.
- Segunda carta também é valete: $ \frac{3}{51} $.
- Então, $ P(X = 2) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} \approx 0,0045 $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a distribuição de probabilidade marginal de $ Y $, ou seja, a probabilidade de obter 0, 1 ou 2 damas nas duas cartas tiradas.
O raciocínio é muito similar ao de $ X $, já que também há 4 damas no baralho.
- $ Y = 0 $: Nenhuma dama é tirada.
- $ Y = 1 $: Uma dama é tirada.
- $ Y = 2 $: Duas damas são tiradas.
Passo 5
Calculando cada probabilidade para $ Y $:
-
$ P(Y = 0) $:
- Primeira carta não é dama: $ \frac{52 - 4}{52} = \frac{48}{52} $.
- Segunda carta também não é dama: $ \frac{47}{51} $.
- Então, $ P(Y = 0) = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} = \frac{2256}{2652} \approx 0,8505 $.
-
$ P(Y = 1) $:
- Pode ser dama na primeira e não na segunda, ou vice-versa.
- Primeiro caso:
- Primeira é dama: $ \frac{4}{52} $.
- Segunda não é dama: $ \frac{48}{51} $.
- Probabilidade: $ \frac{4}{52} \times \frac{48}{51} $.
- Segundo caso:
- Primeira não é dama: $ \frac{48}{52} $.
- Segunda é dama: $ \frac{4}{51} $.
- Probabilidade: $ \frac{48}{52} \times \frac{4}{51} $.
- Então, $ P(Y = 1) = 2 \times \frac{4}{52} \times \frac{48}{51} = \frac{384}{2652} \approx 0,1448 $.
-
$ P(Y = 2) $:
- Ambas as cartas são damas.
- Primeira é dama: $ \frac{4}{52} $.
- Segunda também é dama: $ \frac{3}{51} $.
- Então, $ P(Y = 2) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} \approx 0,0045 $.
Resposta
A distribuição de probabilidade marginal de $ X $ (número de valetes) é:
E a distribuição de probabilidade marginal de $ Y $ (número de damas) é: