Suponha que os comprimentos de jacarés adultos de uma certa raça sigam o modelo normal com média desconhecida e variância igual a
. Uma amostra de doze animais foi sorteado e forneceu média
. Obtenha uma estimativa para a média com uma confiança de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma estimativa para a média dos comprimentos de jacarés adultos dessa certa raça, com 97% de confiança. A gente sabe que esses comprimentos seguem uma distribuição normal, a média é desconhecida e a variância é 0,04 m². Tiramos uma amostra de 12 jacarés e a média dessa amostra foi de 1,67 m. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de intervalo de confiança para a média, usando a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores na qual a gente tem certeza, com um certo nível de confiança (nesse caso, 97%), que a verdadeira média da população está dentro dessa faixa. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal que corresponde ao nível de confiança, $ \sigma $ é o desvio padrão da população, e $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor crítico $ Z $ para um nível de confiança de 97%. Isso significa que queremos que 97% da distribuição esteja dentro dos nossos limites. Como a distribuição normal é simétrica, vamos dividir o que sobra (3%) igualmente nas duas caudas. Então, cada cauda terá 1,5%.
Procurando na tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de $ Z $ que corresponde a 0,985 (97% + metade do que sobra) é aproximadamente 2,17.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão, que é a variabilidade da média da amostra. A fórmula é:
Aqui, $ \sigma = \sqrt{0,04} = 0,2 $ m, e $ n = 12 $.
Passo 5
Com o valor de $ Z $ e o erro padrão, vamos calcular a margem de erro:
Passo 6
Agora, vamos construir o intervalo de confiança usando a média da amostra e a margem de erro:
Isso dá:
Resposta
Então, com 97% de confiança, a média dos comprimentos dos jacarés adultos dessa raça está entre 1,545 m e 1,795 m.