(2,0) Suponha que os comprimentos de jacarés adultos de uma certa raça sigam o modelo normal com média desconhecida e variância igual a 0,04 m^2. Uma amostra de doze animais foi sorteado e forneceu média 1,67 m. Obtenha uma estimativa para a média com uma confiança de 97 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma estimativa para a média dos comprimentos de jacarés adultos dessa certa raça, com 97% de confiança. A gente sabe que esses comprimentos seguem uma distribuição normal, a média é desconhecida e a variância é 0,04 m². Tiramos uma amostra de 12 jacarés e a média dessa amostra foi de 1,67 m. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de intervalo de confiança para a média, usando a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores na qual a gente tem certeza, com um certo nível de confiança (nesse caso, 97%), que a verdadeira média da população está dentro dessa faixa. A fórmula que vamos usar é:
Média da amostra pm Z times (sigmaraizn) é
Aqui, $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal que corresponde ao nível de confiança, $ \sigma $ é o desvio padrão da população, e $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor crítico $ Z $ para um nível de confiança de 97%. Isso significa que queremos que 97% da distribuição esteja dentro dos nossos limites. Como a distribuição normal é simétrica, vamos dividir o que sobra (3%) igualmente nas duas caudas. Então, cada cauda terá 1,5%.
Procurando na tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de $ Z $ que corresponde a 0,985 (97% + metade do que sobra) é aproximadamente 2,17.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão, que é a variabilidade da média da amostra. A fórmula é:
sigmaraizn = 0,2raiz12 approx 0,23,464 approx 0,0577
Aqui, $ \sigma = \sqrt{0,04} = 0,2 $ m, e $ n = 12 $.

Passo 5

Com o valor de $ Z $ e o erro padrão, vamos calcular a margem de erro:
Z

Passo 6

Agora, vamos construir o intervalo de confiança usando a média da amostra e a margem de erro:
1,67 pm 0,125
Isso dá:
Limite Inferior = 1,67 - 0,125 = 1,545 m
Limite Superior = 1,67 + 0,125 = 1,795 m

Resposta

Então, com 97% de confiança, a média dos comprimentos dos jacarés adultos dessa raça está entre 1,545 m e 1,795 m.

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