Suponha que a concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tenha distribuição normal com̆ média 11.45 e variância 1.49. (Utilize 4 casas decimais)
Qual a probabilidade, de que num dado dia, a concentração do poluente seja maior do que
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Qual a probabilidade, de que num dado dia, a concentração do poluente seja maior do que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a concentração de um poluente na água liberada por uma fábrica segue uma distribuição normal com média igual a 11,45 e variância igual a 1,49. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de, em um dia qualquer, essa concentração ser maior que 11,29. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre distribuição normal e como calcular probabilidades usando ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é uma das distribuições mais importantes na estatística. Ela é simétrica em torno da média, e a variância nos diz quão espalhados os dados estão. No nosso caso, a média (μ) é 11,45 e a variância (σ²) é 1,49. Para facilitar os cálculos, vamos achar o desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a concentração seja maior que 11,29. Em termos matemáticos, isso é:
Para calcular essa probabilidade, vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore z:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos avaliar (11,29),
- $ \mu $ é a média (11,45),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (1,2207).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula do z:
Passo 5
O próximo passo é encontrar a probabilidade associada a esse valor de z. Geralmente, usamos tabelas de distribuição normal padrão ou calculadoras para isso. A tabela nos dá a probabilidade de $ Z $ ser menor que um determinado valor. No nosso caso, queremos $ P(Z > -0,1310) $.
Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
Passo 6
Consultando a tabela de distribuição normal padrão para $ z = 0,1310 $, encontramos que:
Isso significa que a probabilidade de $ Z $ ser menor que 0,1310 é aproximadamente 55,23%.
Resposta
A probabilidade de que, em um dia qualquer, a concentração do poluente seja maior que 11,29 é aproximadamente 0,5523 ou 55,23%.