Suponha conhecido que 1+x+x^2+x^3+cdots+x^n+cdots=11-x, onde |x|<1. Substitua x por -t^2 nessa identidade e explique a igualdade
arctan x=x-x^33+x^55-cdots+(-1)^n x^2 n+12 n+1+cdots
para todo -1.

Passo 1

A série geométrica e a expansão de arctan x: temos a identidade 1 + x + x^2 + cdots = 11 - x para |x|<1, e queremos obter a expansão em série de potências de arctan x em -1.

Passo 2

Substituindo x=-t^2 na soma da série geométrica obtemos
1 + (-t^2) + (-t^2)^2 + cdots = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + cdots = 11 + t^2

Passo 3

Sabendo que
arctan x = integral0^x 11 + t^2,dt, podemos integrar termo a termo a série de 1/(1+t^2).

Passo 4

Fazendo a integração de cada termo entre 0 e x temos
integral0^x(1 - t^2 + t^4 - t^6 + cdots),dt = x - x^33 + x^55 - x^77 + cdots, justificando a troca da soma pela integral pela convergência uniforme em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1).

Resposta

arctan x = x - tfracx^33 + tfracx^55 - cdots + (-1)^ntfracx^2n+12n+1 + cdots para todo -1.

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