Suponha um consumidor cujas preferências podem ser representadas por uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas: \mathrm{U}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=x_{1}^{0,3} x_{2}^{0,7}. Com base nessa informação sobre as preferências do consumidor, pede-se:
Qual será a cesta ótima de bens escolhida por esse consumidor se o preço do produto 1\left(\mathrm{P}_{1}\right) for \mathrm{R} \ 2,00 , o preço do produto \(2\left(\mathrm{P}_{2}\right) for)\mathrm{R} $4,00 e a renda disponível para consumir os produtos for deí\mathrm{R} $ 1.000,00$.

Passo 1

O enunciado diz que um consumidor tem utilidade do tipo Cobb-Douglas \r \mathrm{U}(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0,3}x_{2}^{0,7} \r
e enfrenta preços p_{1}=2, p_{2}=4 e renda M=1000. \r
Queremos achar a cesta (x_{1},x_{2}) que maximiza a utilidade sujeita à restrição orçamentária. \r
Para isso, vamos usar o método do multiplicador de Lagrange e as condições de primeira ordem.

Passo 2

Escrevemos o Lagrangiano \r
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda) = x_{1}^{0,3}x_{2}^{0,7} +\lambda\bigl(1000 - 2\,x_{1} - 4\,x_{2}\bigr).

Passo 3

Calculamos as condições de primeira ordem: \r
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}} =0.3\,x_{1}^{-0,7}x_{2}^{0,7}-2\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}} =0.7\,x_{1}^{0,3}x_{2}^{-0,3}-4\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} =1000 - 2\,x_{1} - 4\,x_{2}=0.

Passo 4

Dividindo a primeira equação pela segunda, obtemos a condição de tangência \r
\frac{0.3\,x_{1}^{-0,7}x_{2}^{0,7}}{0.7\,x_{1}^{0,3}x_{2}^{-0,3}} =\frac{2}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{0.3}{0.7}\,\frac{x_{2}}{x_{1}} =\tfrac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x_{2}}{x_{1}} =\frac{0.7}{0.3}\times\frac{1}{2} =1{,}1666\dots
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x_{2}=1{,}1666\,x_{1}.

Passo 5

Substituímos na restrição orçamentária: \r
2\,x_{1}+4\,(1{,}1666\,x_{1})=1000 \quad\Longrightarrow\quad 2\,x_{1}+4{,}6667\,x_{1}=6{,}6667\,x_{1}=1000
x_{1}=\frac{1000}{6{,}6667}=150, \quad x_{2}=1{,}1666\times150=175.

Resposta

x_{1}=150 e x_{2}=175.

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