Suponha um consumidor cujas preferências podem ser representadas por uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas: \mathrm{U}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=x_{1}^{0,3} x_{2}^{0,7}. Com base nessa informação sobre as preferências do consumidor, pede-se:
Suponha, agora, que a renda do consumidor aumentou para \mathrm{R} \ 2.000,00 \mathrm{em} um primeiro momento (t1) e aumentou novamente para\mathrm{R} $3.000,00$ em um segundo momento (t2). Calcule as cestas ótimas de bens do consumidor em t1 e t2.

Passo 1

O enunciado descreve um consumidor com utilidade do tipo Cobb-Douglas
U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0,3}\,x_{2}^{0,7},
renda R e preços que vamos tomar iguais a p_{1}=p_{2}=1. Queremos achar as cestas ótimas \bigl(x_{1}^{*},x_{2}^{*}\bigr) quando R=2000 (t1) e R=3000 (t2). Para isso, vamos usar a demanda Marshalliana típica de Cobb-Douglas.

Passo 2

Na maximização com restrição orçamentária
\max_{x_{1},x_{2}}\;x_{1}^{0,3}x_{2}^{0,7} \quad\text{s.a.}\quad x_{1}+x_{2}=R,
as condições de primeira ordem levam à forma geral
x_{1}^{*} = 0,3\,\frac{R}{p_{1}}, \quad x_{2}^{*} = 0,7\,\frac{R}{p_{2}}.
Como assumimos p_{1}=p_{2}=1, fica
x_{1}^{*}=0,3\,R, \quad x_{2}^{*}=0,7\,R.

Passo 3

No momento t1 temos R=2000. Logo
x_{1}^{*}(t1)=0,3\times2000=600, \qquad x_{2}^{*}(t1)=0,7\times2000=1400.

Passo 4

No momento t2 temos R=3000. Logo
x_{1}^{*}(t2)=0,3\times3000=900, \qquad x_{2}^{*}(t2)=0,7\times3000=2100.

Resposta

Em t1 R=2000: \bigl(x_{1},x_{2}\bigr)=(600,1400)
Em t2 R=3000: \bigl(x_{1},x_{2}\bigr)=(900,2100)

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