6- Suponha que um corpo à temperatura de 30^circ C seja descoberto à meia noite e que a temperatuta ambiente seja constante e igual a 20^circ C. O corpo é transportado rapidamente (suponha que o transporte seja instantâneo) para o necrotério, onde a temperatura ambiente é mantida a 5^circ C. Depois de uma hora, a temperatura do corpo é de 15^circ C. Estime a hora da morte. Resp: 23 h 25 min .

Passo 1

O enunciado descreve um corpo cuja temperatura interna inicial (ao morrer) era 37^circC. Entre o momento da morte e a descoberta (à meia-noite), o corpo esteve em ambiente a 20^circC. No instante da descoberta ( t=0), mede-se T(0)=30^circC e logo em seguida o corpo é levado para um necrotério a 5^circC. Uma hora depois ( t=1 h) mede-se T(1)=15^circC.
Conteúdo: Lei de resfriamento de Newton. Iremos
  1. escrever a solução geral T(t);
  2. determinar a constante de resfriamento k a partir do trecho em ambiente a 5^circC;
  3. usar esse k no trecho inicial para achar o tempo decorrido desde a morte até a descoberta;
  4. converter esse tempo em horas e minutos.

Passo 2

A Lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura T(t) de um corpo imerso em ambiente a temperatura constante Te satisfaz
dTdt = -kl(T(t) - Ter),
cuja solução geral é
T(t) = Te + l(T(0)-Ter),e^-k t

Passo 3

No necrotério ( Te=5^circC), temos T(0)=30^circC e T(1)=15^circC. Logo,
15 = 5 + (30-5)e^-kcdot1 Longrightarrow 10 = 25,e^-k Longrightarrow e^-k = 1025 = 0,4 Longrightarrow k = -ln(0,4) = ln(2,5)approx0,9163 h^-1

Passo 4

No período inicial (ambiente a 20^circC) o corpo parte de Tmorte=37^circC e atinge T(0)=30^circC em tempo tau. Assim,
30 = 20 + (37-20)e^-ktau Longrightarrow 10 = 17,e^-ktau Longrightarrow e^-ktau = 1017 Longrightarrow tau = -1kln!l(tfrac1017r) = 10,9163ln!l(1,7r) approx0,579 h

Passo 5

Convertendo tauapprox0,579 h em minutos:
0,579times60approx34,7 min
Portanto a morte ocorreu cerca de 34,7 min antes de meia-noite, ou seja, aproximadamente às 23 h 25 min.

Resposta

Aproximadamente 23 h 25 min.

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